Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 24

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}\alpha ={\frac {360}{n}}$. Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}^{j}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\,.$

Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, konjugiert zu ${}Z_{n}$ aus Beispiel 23.1 ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper ${}K$ und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cap L[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,.$

Aufgabe

Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen, die durch die Vierteldrehung

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen Invariantenring zur zugehörigen linearen Operation.

Aufgabe

Bestimme zu einer speziellen unitären Matrix

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

die Eigenwerte und die Eigenvektoren.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer speziellen unitären Matrix

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$, antipodal sind.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer diagonalisierbaren Matrix

${\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$, nicht antipodal sein müssen.

Aufgabe

Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine Homöomorphie zwischen ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und ${}S^{2}$ stiften.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer Menge ${}M$ operiere, und es sei ${}\psi \colon M\rightarrow N$ eine Bijektion. Zeige, dass dann auch eine natürliche Operation von ${}G$ auf ${}N$ vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine spezielle Matrix mit der zugehörigen Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}.$

Zeige, dass ${}\varphi$ keine längentreue Abbildung und nicht zu einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{3}$ nach ${}\mathbb {R} ^{3}$ fortsetzbar sein muss.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c,d$ reelle Zahlen mit

${}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\,.$

Zeige, das die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ induziert, der unter der in Satz 24.2 beschriebenen Abbildung

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

mit der Konjugation mit ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ auf ${}\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auch als Konjugation mit der Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ realisiert werden kann.

Aufgabe

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.

Aufgabe

Zeige, dass man die Kleinsche Vierergruppe nicht als Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, wohl aber als Untergruppe der ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren kann.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen ${}G,H\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen ${}G,H\subseteq \operatorname {SL} _{3}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.

Aufgabe

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe nicht isomorph zur Permutationsgruppe ${}S_{5}$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente der binären Ikosaedergruppe.

Aufgabe zum Abgeben

Aufgabe (10 Punkte)

Zeige, dass die in Beispiel 23.2, Beispiel 23.3, Beispiel 23.4 und Beispiel 23.5 beschriebenen Gruppen unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.