Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+YZ^3 \right) }}{} genau in
\mathl{P=(0,0,0)}{} \definitionsverweis {singulär}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {binäre Tetraedergruppe}{}{} die Dimension von
\mathl{{\mathbb C}[U,V]^{BT}_d}{} für
\mathl{d \leq 12}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {binäre Oktaedergruppe}{}{} die Dimension von
\mathl{{\mathbb C}[U,V]^{BO}_d}{} für
\mathl{d \leq 24}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) }}{} genau in
\mathl{P=(0,0,0)}{} \definitionsverweis {singulär}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf den $A$- und den $D$-Singularitäten und auf der
\mathl{E_6}{} und der
\mathl{E_7}{-}Singularität glatte Kurven gibt, die durch den \definitionsverweis {singulären Punkt}{}{} laufen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige, dass die in Beispiel 26.4 angegebenen Polynome
\mathl{\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}}{} in der Tat \definitionsverweis {invariant}{}{} sind, und dass die dort angegebene Relation besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {{\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) } } { {\mathbb C}[R,S,T]/ { \left( RS-T^2 \right) } } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.

}
{} {}

Wir erinnern an folgende Definition.

Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt die von allen \definitionsverweis {Kommutatoren}{}{}
\mathbed {aba^{-1}b^{-1}} {}
{a,b \in G} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} die \definitionswort {Kommutatorgruppe}{} von $G$. Sie wird mit
\mathl{K(G)}{} bezeichnet.

Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe
\mathl{G/K(G)}{} nennt man auch die \stichwort {Abelianisierung} {} von $G$.

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu den endlichen Untergruppen
\mathl{G \subseteq \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} jeweils die \definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{} und die \definitionsverweis {Abelianisierung}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf der
\mathl{E_8}{-}Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den \definitionsverweis {singulären Punkt}{}{} läuft.

}
{} {}