Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, dass die \definitionsverweis {reguläre Darstellung}{}{} in der Tat ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Wie sieht es aus, wenn man die reguläre Darstellung mit der \definitionsverweis {Rechtsmultiplikation}{}{} statt mit der \definitionsverweis {Linksmultiplikation}{}{} definiert?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} eine \definitionsverweis {treue Darstellung}{}{} innerhalb der \definitionsverweis {speziellen linearen Gruppe}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {treue Darstellungen}{}{} für $\Z$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {treue Darstellungen}{}{} für $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} wine \definitionsverweis {zyklische Untergruppe}{}{,} die von
\mathl{\varphi \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} erzeugt werde. Zeige, dass ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq K^n}{} genau dann $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist, wenn er $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_{ q } \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} ${\mathbb F}_5$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (G, K )}{} die \definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{} zu $G$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {
\mathl{G^{ \vee }}{} ist eine kommutative Gruppe. } {Bei einer \definitionsverweis {direkten Gruppenzerlegung}{}{}
\mathl{G=G_1 \times G_2}{} ist
\mathl{(G_1 \times G_2)^{ \vee } = G_1 ^{ \vee } \times G_2^{ \vee }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{} und seien \mathkor {} {D_1^{ \vee }} {und} {D_2^{ \vee }} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Charaktergruppen}{}{} zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {D_1} {D_2 } {} durch die Zuordnung
\mathl{\chi \mapsto \chi \circ \varphi}{} ein Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi^{ \vee }} { D_2^{ \vee } } { D_1^{ \vee } } {} definiert wird. } {Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei \maabbdisp {\psi} {D_2} {D_3 } {} ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^{ \vee } }
{ =} { \varphi ^{ \vee } \circ \psi ^{ \vee } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee } } {d} { (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) ) } {,} ein natürlicher \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $D$ in das Doppeldual
\mathl{( D^{ \vee } )^{ \vee }}{} gegeben ist.

b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei
\mathl{m}{} der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {} Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung
\mathl{\operatorname{ev}_d}{} heißt \stichwort {Evaluierungsabbildung} {} \zusatzklammer {zu $d$} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { , }
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{ \vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung \maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee } } {d} { (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) ) } {,} ist
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) \subseteq (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{.}

c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass dann
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) = (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Exponenten}{}{} $m$, und es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine \definitionsverweis {primitive}{}{} $m$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } \chi \in H \right\} }} { }
\zusatzklammer {zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{ \vee }$} {} {} zueinander \definitionsverweis {invers}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { D^{ \vee } } { K^{\times} } {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Untergruppe
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }}{} mit
\mathl{r \geq 2}{,} die von zwei Elementen erzeugt wird, die beide als \definitionsverweis {Endomorphismen}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} sind, derart, dass die einzigen $G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräume}{}{} \mathkor {} {0} {und} {K^r} {} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die natürliche \definitionsverweis {Operation}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $G=S_n$ auf $K^n$.

a) Bestimme den \definitionsverweis {Fixraum}{}{} $F$ der Operation.

b) Finde ein $G$-\definitionsverweis {invariantes Komplement}{}{,} also einen $G$-\definitionsverweis {invarianten Unterraum}{}{}
\mathl{U \subseteq K^n}{} mit
\mathl{F \oplus U=K^n}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Untergruppe }{}{}
\mathdisp {G \subset \operatorname{Gl} \,(2, \R) \, ,} { }
die durch die drei Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\, ,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
erzeugt wird. Liste die Elemente dieser Gruppe auf und bestimme sämtliche Untergruppen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{$K$ besitzt eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} }{Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel. }{Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. }{Zu jeder \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ eines Elementes
\mathl{d \in D}{} besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{E \subseteq D}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Es sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} des natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { E^{ \vee } } {\chi} { \chi {{|}}_E } {,} gleich $E^{ { \perp } }$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} besitzt, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}