Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 4

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.

  1. Die Operation auf dem -ten Produkt von mit sich selbst, also
  2. Die Operation auf dem -ten Dachprodukt , also

    die durch festgelegt ist.

  3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum , also die Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Zeige, dass die induzierte Operation auf dem Polynomring homogen, d.h. dass für jedes und auch gilt.


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 3.15 und Beispiel 3.18 die induzierte Wirkung der Gruppe auf der -ten Stufe des Polynomringes .


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

  1. Für die Einheiten gilt
  2. Wenn ein Körper ist, so ist auch ein Körper.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem sowohl als auch zum Fixring gehören.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und der Polynomring über . Die Einheitengruppe operiere durch skalare Multiplikation auf , d.h. zu gehört der durch definierte -Algebraautomorphismus. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation ist.


Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe auf dem Polynomring über einem Körper . Bestimme (zu ) für jede Untergruppe den Fixring .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit und . Zeige, dass die Gruppe auf der quadratischen Erweiterung

als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiert, indem durch wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass auf eine Gruppenoperation von gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement und vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und die additive Gruppe zu .

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

wobei den durch gegebenen -Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von auf dem Polynomring definiert ist.

b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und die multiplikative Gruppe zu .

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

wobei den durch gegebenen -Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von auf dem Polynomring definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und ein -Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Zeige, dass genau dann zu gehört, wenn -invariant ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Operation der -ten komplexen Einheitswurzeln auf durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring , dessen Fixring ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung und die zugehörige Operation auf .

a) Zeige

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die Untergruppe

aus Aufgabe 3.17. Bestimme zu jeder Untergruppe ein Polynom aus , das bezüglich invariant ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Wir betrachten die durch erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf . Zeige, dass der Invariantenring gleich

ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und

der -fache Produktring von mit sich selbst.

a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe auf durch Vertauschen der Komponenten operiert.

b) Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

c) Zeige, dass für jede transitive Untergruppe der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ebenfalls lokal ist.



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