Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.

1. Die Operation auf dem ${}k$-ten Produkt von ${}V$ mit sich selbst, also

   $G\times V^{k}\longrightarrow V^{k},\,(\sigma ,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto (\sigma (v_{1}),\ldots ,\sigma (v_{k})).$

2. Die Operation auf dem ${}k$-ten Dachprodukt ${}\bigwedge ^{k}V$, also

   $G\times \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,$

   die durch ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto \sigma (v_{1})\wedge \ldots \wedge \sigma (v_{k})$ festgelegt ist.

3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum ${}{V}^{*}$, also die Abbildung

   ${V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma .$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Zeige, dass die induzierte Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ homogen, d.h. dass für jedes ${}\sigma \in G$ und ${}f\in R_{d}$ auch ${}f\sigma \in R_{d}$ gilt.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 3.15 und Beispiel 3.18 die induzierte Wirkung der Gruppe auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes ${}K[V]$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.$

2. Wenn ${}R$ ein Körper ist, so ist auch ${}R^{G}$ ein Körper.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem ${}f\in R$ sowohl ${}\sum _{\sigma \in G}f\sigma$ als auch ${}\prod _{\sigma \in G}f\sigma$ zum Fixring ${}R^{G}$ gehören.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$. Die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ operiere durch skalare Multiplikation auf ${}R$, d.h. zu ${}\lambda \in K^{\times }$ gehört der durch ${}X_{i}\mapsto \lambda X_{i}$ definierte ${}K$- Algebraautomorphismus. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation ${}K$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$. Bestimme (zu $n=2,3,4$) für jede Untergruppe ${}H\subseteq S_{n}$ den Fixring ${}R^{H}$.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring mit ${}2\neq 0$ und ${}a\in S$. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}$ auf der quadratischen Erweiterung

${}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,$

als Gruppe von ${}S$- Algebrahomomorphismen operiert, indem ${}-1$ durch ${}X\mapsto -X$ wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ${}R^{G}=R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass auf ${}K[X,Y]/(XY)$ eine Gruppenoperation von ${}\mathbb {Z} /(2)$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement ${}X$ und ${}Y$ vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G=(R,+)$ die additive Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \varphi _{r},$

wobei ${}\varphi _{r}$ den durch ${}X\mapsto X+r$ gegebenen ${}R$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G=(R^{\times },\cdot )$ die multiplikative Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \psi _{r},$

wobei ${}\psi _{r}$ den durch ${}X\mapsto rX$ gegebenen ${}R$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Zeige, dass ${}f\in K[V]$ genau dann zu ${}K[V]^{G}$ gehört, wenn ${}f\colon V\rightarrow K$ ${}G$- invariant ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Operation der ${}r$-ten komplexen Einheitswurzeln ${}G=\mu _{r}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$, dessen Fixring ${}{\mathbb {C} }[X^{r}]$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung ${}r$ und die zugehörige Operation auf ${}\mathbb {R} [X,Y]$.

a) Zeige

${}\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.$

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die Untergruppe

${}G\subset \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\,$

aus Aufgabe 3.17. Bestimme zu jeder Untergruppe ${}H\subseteq G$ ein Polynom aus ${}\mathbb {R} [X,Y]$, das bezüglich ${}H$ invariant ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Wir betrachten die durch ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf ${}K[X,Y]$. Zeige, dass der Invariantenring gleich

$K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]$

ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und

${}R=A\times A\times \cdots \times A\,$

der ${}n$-fache Produktring von ${}A$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ auf ${}R$ durch Vertauschen der Komponenten operiert.

b) Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

c) Zeige, dass für jede transitive Untergruppe ${}H\subseteq S_{n}$ der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ${}R^{G}$ ebenfalls lokal ist.