Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 3

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Lineare Operationen

Eine Operation einer Gruppe auf einer (geometrischen) Menge ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus der Gruppe in die Permutationsgruppe des geometrischen Objektes. Häufig betrachtet man nur solche Operationen, deren zugehörige Permutationen Automorphismen sind, also die relevanten geometrischen Eigenschaften des Objektes respektieren. Bei einer Operation auf einer Mannigfaltigkeit wird man beispielsweise fordern, dass die Automorphismen Diffeomorphismen sind. Wenn das geometrische Objekt ein Vektorraum ist, so interessiert man sich insbesondere für die linearen Automorphismen.


Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Gruppe. Eine Operation

heißt linear, wenn für jedes die Abbildung

-linear ist.

Bei einer linearen Operation sind die Abbildungen sogar -Automorphismen. Eine lineare Operation ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus


Beispiel  

Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die allgemeine lineare Gruppe operiert in natürlicher Weise linear auf . Die Elemente sind ja definiert als -Automorphismen von in sich und somit ist die Abbildung

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

so dass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt und , da es zu zwei von verschiedenen Vektoren und stets einen Automorphismus gibt, der in überführt.



Beispiel  

Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe auf , also die Abbildung

induziert für jede Untergruppe eine lineare Operation

Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der sind die spezielle lineare Gruppe (dazu muss endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei oder ), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe und die eigentliche Isometriegruppe .



Beispiel  

Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge , also

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,

ist eine Gruppe mit Elementen.

Die Permutationsgruppe operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf wie folgt: Der -te Basisvektor wird auf geschickt, also . Dies definiert nach Satz 12.3 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)) einen linearen Automorphismus

den wir ebenfalls mit bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der -ten Spalte in der -ten Zeile eine steht, und sonst überall . Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle (-te Zeile, -te Spalte) eine und sonst überall eine als Eintrag besitzt, so ist die zu gehörende Permutationsmatrix gleich

Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.

Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe , und die Zuordnung ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel 3.3 operiert die Permutationsgruppe linear auf dem .



Definition  

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem -Vektorraum linear operiere. Ein Untervektorraum heißt -invariant, wenn für alle und alle auch ist.[1]

Dies kann man auch so ausdrücken, dass jede zu gehörende Abbildung den Unterraum in sich selbst abbildet. D.h. ist -invariant für jedes . Bei endlichdimensionalem ist dann sogar stets

Die Operation lässt sich in natürlicher Weise auf einen jeden invarianten Unterraum einschränken. Man nennt diese Räume daher auch einfach -Räume.


Definition  

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem -Vektorraum linear operiere. Der Untervektorraum

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Der Fixraum ist einfach die Menge aller Fixpunkte der Operation. Er ist ein -invarianter Untervektorraum.



Darstellungstheorie

Eine lineare Operation einer Gruppe auf einem Vektorraum nennt man auch eine Darstellung der Gruppe. In der Darstellungstheorie steht die Frage im Mittelpunkt, auf wie viele (wesentlich verschiedene) Arten eine bestimmte Gruppe auf einem Vektorraum operieren kann. Mit dieser Kenntnis kann man sowohl die Gruppe selbst als auch ihre Operationen besser verstehen.


Definition  

Es sei eine Gruppe, ein Körper und ein (endlichdimensionaler) -Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ).

Man spricht auch von einer linearen Darstellung. Bei spricht man auch von einer Matrix-Darstellung. Das Bild der Darstellung ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Die Dimension des Vektorraumes nennt man auch die Dimension der Darstellung.

Eine Darstellung von in ist das gleiche wie eine Operation von auf . Die Darstellungstheorie einer gegebenen Gruppe beschäftigt sich mit der Menge aller möglichen Darstellungen zu dieser Gruppe.


Eine Darstellung

einer Gruppe in einen -Vektorraum heißt treu, wenn injektiv ist.


Man interessiert sich hauptsächlich für die treuen Darstellungen. Wenn eine Darstellung der Gruppe nicht treu ist, so besitzt sie einen nichttrivialen Kern , und es ergibt sich nach Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) eine treue Darstellung der Restklassengruppe .

Man unterscheide sorgfältig zwischen abstrakten intrinsischen Eigenschaften einer Gruppe und Eigenschaften, die mit ihrer Einbettung in die allgemeine lineare Gruppe zusammenhängen. Die Eigenschaften einer linearen Operation hängen von beiden ab.


Definition  

Es sei eine endliche Gruppe und ein Körper. Unter der regulären Darstellung von versteht man den Gruppenhomomorphismus[2]

Diese Darstellung ist die Verknüpfung des injektiven Gruppenhomomorphismus

der auch im Satz von Cayley auftaucht, mit dem ebenfalls injektiven Gruppenhomomorphismus, der einer Permutation auf einer Menge (die im vorliegenden Fall ist) ihre lineare, durch festgelegte Realisierung zuordnet. Insbesondere ist die reguläre Darstellung treu, und somit gibt es für jede endliche Gruppe überhaupt eine treue Darstellung. Es lässt sich also jede endliche Gruppe als Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen realisieren, und zwar über jedem Körper.



Charaktere

Definition  

Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

ein Charakter von in .

Die Menge der Charaktere von nach bezeichnen wir mit . Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach ) und der Verknüpfung

ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von nach . Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter gibt, der durch

definiert ist, bildet sogar eine kommutative Gruppe(siehe unten).


Definition  

Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

die Charaktergruppe von (in ).

Ein Charakter einer Gruppe ist nichts anderes als eine eindimensionale Darstellung.



Lemma

Sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Bei einer [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|direkten Gruppenzerlegung]] ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 3.9.




Lemma  

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind und isomorphe Gruppen.

Beweis  

Nach Lemma 3.11  (2) und Korollar Anhang 4.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) kann man annehmen, dass eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

ist durch eindeutig festgelegt, und wegen

ist eine -te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder -ten Einheitswurzel durch die Zuordnung nach Lemma 4.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) und Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) einen Gruppenhomomorphismus von nach definieren. Die Menge der -ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung . Also gibt es solche Homomorphismen. Wenn eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch festgelegte Homomorphismus die Ordnung und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also .



Darstellungen der zyklischen Gruppe

Eine endliche zyklische Gruppe lässt sich auf unterschiedliche Weise als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bzw. auffassen, wie die folgenden Beispiele zeigen.


Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Dann ist die Untergruppe

eine zyklische Gruppe der Ordnung . Somit ist die Zuordnung

eine (treue) eindimensionale Darstellung (also ein Charakter) einer zyklischen Gruppe.



Beispiel  

Es sei ein Körper und . Der Erzeuger operiert auf durch Addition mit , die zugehörige Permutation ist also durch (und ) gegeben. Die zugehörige Permutationsmatrix ist

Somit ist die Zuordnung

die reguläre Darstellung der zyklischen Gruppe.



Beispiel  

Es sei ein Körper und seien Einheitswurzeln. Dann ist

eine zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe . Ihre Ordnung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (nennen wir es ) der Ordnungen der . Die Zuordnung

ist eine -dimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Dann ist die Untergruppe

der speziellen linearen Gruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung ist. Die Zuordnung

ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.



Beispiel  

Eine jede invertierbare Matrix endlicher Ordnung über einem Körper erzeugt eine endliche zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Ihre Determinante muss eine Einheitswurzel sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein. Wie das reelle Beispiel zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder diagonalisierbar noch trigonalisierbar sein. Über einem endlichen Körper besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung.



Beispiel  

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Dann bilden die Matrizen

eine zyklische Untergruppe der mit Elementen.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik .

Dann ist jede invertierbare Matrix , die endliche Ordnung besitzt, diagonalisierbar.

Beweis  

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke

trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form

(mit ) vorliegt. Wenn dies keine -Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren , wobei ein Eigenvektor ist und auf abgebildet wird. Die -te Iteration der Matrix schickt dann auf und wegen Charakteristik ist dies nicht , im Widerspruch zur endlichen Ordnung.




Korollar  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik .

Dann ist jede Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe in in einer geeigneten Basis von der Form

mit gewissen Einheitswurzeln .

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 3.19.




Fußnoten
  1. Ein invarianter Unterraum ist also einfach ein Untervektorraum, der zugleich eine -invariante Teilmenge ist.
  2. Hierbei wird durch die Zuordnung eine Permutation auf definiert; diese gibt die zugehörige lineare Abbildung auf der Standardbasis des vor. Unter verstehen wir die Menge der Abbildungen von nach , der isomorph zu Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} K^{ {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default ={ \# \left( \right) } }} }} ist.



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