Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 30/latex

\setcounter{section}{30}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ \definitionsverweis {linear operiere}{}{.} Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein $G$-\definitionsverweis {irreduzibler Untervektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} ein $G$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass
\mathl{U \cap W}{} gleich $W$ oder gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu jeder \definitionsverweis {Darstellung}{}{} einer Gruppe $G$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ ein \definitionsverweis {Charakter}{}{} \maabb {} {G} { K^{\times} } {} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $\Z$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} an, die nicht \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $( \Q^{\times},\cdot,1)$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} an, die nicht \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{(K,+,0)}{} nicht \definitionsverweis {linear reduktiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mathl{p > 0}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(p)}{} nicht \definitionsverweis {linear reduktiv}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $K$ sei. Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]^G}{} auch als Invariantenring zu einer \definitionsverweis {kleinen Gruppe}{}{}
\mathl{G' \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} auftritt.

}
{} {}