Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 30

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, auf dem eine Gruppe ${}G$ linear operiere. Es sei ${}W\subseteq V$ ein ${}G$- irreduzibler Untervektorraum und ${}U\subseteq V$ ein ${}G$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U\cap W$ gleich ${}W$ oder gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu jeder Darstellung einer Gruppe ${}G$ in einen endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ ein Charakter ${}G\rightarrow K^{\times }$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man gebe eine Darstellung von ${}\mathbb {Z}$ in einen endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man gebe eine Darstellung von ${}(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ in einen endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe ${}(K,+,0)$ nicht linear reduktiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(p)$ nicht linear reduktiv über ${}K$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe, deren Ordnung eine Einheit in ${}K$ sei. Zeige, dass der Invariantenring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ auch als Invariantenring zu einer kleinen Gruppe ${}G'\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auftritt.