Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 30

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Es sei ein -irreduzibler Untervektorraum und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass gleich oder gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass zu jeder Darstellung einer Gruppe in einen endlichdimensionalen -Vektorraum ein Charakter gehört.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Man gebe eine Darstellung von in einen endlichdimensionalen -Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Man gebe eine Darstellung von in einen endlichdimensionalen -Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe nicht linear reduktiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass die Gruppe nicht linear reduktiv über ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe, deren Ordnung eine Einheit in sei. Zeige, dass der Invariantenring auch als Invariantenring zu einer kleinen Gruppe auftritt.



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