Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 31

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(p)$ nicht linear reduktiv über ${}K$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times m$-Matrix über ${}K$. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}\longrightarrow K,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)},$

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}$ in natürlicher Weise dual zueinander sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum rational operiere. Zeige unter Betrachtung der homogenen Komponenten von ${}K[V]$ ohne Verwendung von Satz 31.1 und Lemma 31.2, dass ${}K[V]^{G}$ ein direkter Summand von ${}K[V]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$, und es seien zwei rationale Darstellungen von ${}G$ in die beiden endlichdimensionalen ${}K$- Vektorräume ${}V$ und ${}W$ gegeben. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine surjektive lineare Abbildung, die mit den Operationen verträglich sei. Zeige

${}\varphi (V^{G})=W^{G}\,.$