Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 31

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass die Gruppe nicht linear reduktiv über ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also und in natürlicher Weise dual zueinander sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine linear reduktive Gruppe über , die auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum rational operiere. Zeige unter Betrachtung der homogenen Komponenten von ohne Verwendung von Satz 31.1 und Lemma 31.2, dass ein direkter Summand von ist.


Aufgabe

Es sei eine linear reduktive Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper , und es seien zwei rationale Darstellungen von in die beiden endlichdimensionalen -Vektorräume und gegeben. Es sei

eine surjektive lineare Abbildung, die mit den Operationen verträglich sei. Zeige



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