Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 30

Linear reduktive Gruppen

In den verbleibenden Vorlesungen möchten wir zeigen, dass die Invariantenringe zu algebraischen Operationen der allgemeinen linearen oder der speziellen linearen Gruppe über $ℂ$ endlich erzeugt sind. Der Schlüsselbegriff für diese Aussage ist die lineare Reduktivität, der eine Eigenschaft sämtlicher Darstellungen der Gruppe ist. Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist einfach ein Gruppenhomomorphismus

G ⟶ {GL}_{} (V)

mit einem $K$ -Vektorraum $V$ . Wenn $G$ eine affin-algebraische Gruppe über einem fixierten Körper $K$ (der häufig als algebraisch abgeschlossen angenommen wird) ist, so interessiert man sich vor allem für Darstellungen in Vektorräume über diesem Körper. Ferner soll die Darstellung algebraisch sein. Diese Forderungen kommen in der folgenden Definition zum Ausdruck.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$ . Unter einer $K$ -rationalen Darstellung von $G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus

G ⟶ {GL}_{} (V)

mit einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ (also eine Darstellung von $G$ ), die durch einen $K$ -Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu $G$ bzw. ${GL}_{} (V)$ induziert wird.

Dies ist äquivalent dazu, dass die Operation von $G$ auf $V$ , also die Abbildung

G \times V ⟶ V,

algebraisch ist, also durch eine Kooperation der Hopfalgebra $H$ (zu $G$ ) auf dem Polynomring $K [V]$ gegeben ist. Man sagt dann auch, dass $G$ auf $V$ $K$ -rational operiert.

Für die multiplikative Gruppe $K^{\times}$ ist beispielsweise die Zuordnung

K^{\times} = {GL}_{1} (K) ⟶ {GL}_{n} (K), t ⟼ (\begin{matrix} t^{a_{1}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t^{a_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^{a_{n}} \end{matrix}),

mit $a_{j} \in ℤ$ eine $K$ -rationale Darstellung, für die additive Gruppe $K$ ist beispielsweise die Zuordnung

K ⟶ {GL}_{2} (K), t ⟼ (\begin{matrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix}),

eine solche.

Zur Formulierung der linearen Reduktivität brauchen wir noch einige weitere Begriffe aus der Darstellungstheorie.

Definition

Eine Darstellung

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

einer Gruppe $G$ in einem $K$ -Vektorraum $V$ heißt irreduzibel, wenn $V \neq 0$ ist und wenn die einzigen $G$ -invarianten Untervektorräume $0$ und $V$ sind.

Definition

Eine Darstellung

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

einer Gruppe $G$ in einem $K$ -Vektorraum $V$ heißt vollständig reduzibel, wenn $V$ die direkte Summe aus $G$ -invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.

Zwei Darstellungen

ρ_{1} : G ⟶ {GL}_{} (V_{1})

und

ρ_{2} : G ⟶ {GL}_{} (V_{2})

heißen äquivalent, wenn es eine bijektive $K$ -lineare Abbildung

φ : V_{1} ⟶ V_{2}

mit $ρ_{2} = φ \circ ρ_{1}$ gibt (wobei $φ$ als Isomorphismus zwischen den allgemeinen linearen Gruppen aufgefasst wird).

Definition

Eine affin-algebraische Gruppe $G$ über einem Körper $K$ heißt linear reduktiv, wenn jede $K$ -rationale Darstellung von $G$ vollständig reduzibel ist.

Wir werden später sehen, dass die allgemeine lineare Gruppe über $ℂ$ linear reduktiv ist, was auf maßtheoretischen Methoden beruht. Zunächst wenden wir uns endlichen (nichtmodularen) Gruppen und kommutativen Gruppen zu, die ebenfalls linear reduktiv sind.

Lineare Reduktivität von endlichen Gruppen

Wir brauchen zunächst das folgende einfache Lemma.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf den beiden $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ linear operiere. Es sei $φ : V \to W$ eine $G$ -verträgliche lineare Abbildung.

Dann ist sowohl $kern φ$ als auch $bild φ$ $G$ -invariant.

Beweis

Es sei $v \in kern φ$ und $g \in G$ . Wegen der Verträglichkeit von $φ$ mit den Gruppenoperationen ist

φ (g v) = g (φ (v)) = g (0) = 0,

also ist $g v \in kern φ$ und der Kern ist invariant. Bei $w \in bild φ$ , sagen wir $w = φ (v)$ , und $g \in G$ ist wiederum

φ (g v) = g (φ (v)) = g (w),

also $g v \in bild φ$ und das Bild ist ebenfalls invariant.

◻

Die folgenden Aussagen heißen Lemma von Maschke bzw. Satz von Maschke.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei. Es sei

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

eine Darstellung in einen endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und $U \subseteq V$ ein $G$ -invarianter Untervektorraum.

Dann gibt es einen $G$ -invarianten Untervektorraum $W \subseteq V$ mit $V = U \oplus W$ .^[1]

Beweis

Aufgrund von Fakt ***** kann man $V = U \oplus W^{'}$ mit einem $K$ -Untervektorraum $W^{'}$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs $W^{'}$ )

π : V ⟶ U

mit $π \circ ι = {Id}_{U}$ , wobei $ι$ die Einbettung $U \subseteq W$ bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit $n = ord (G)$ ; dies ist eine Einheit in $K$ )

ψ : V ⟶ V, v ⟼ \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g^{- 1} (π (g (v))) .

Für $u \in U$ ist (wegen $g (u) \in U$ und da $π$ auf $U$ die Identität ist)

\begin{matrix} ψ (u) & = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g^{- 1} (π (g (u))) \\ = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g^{- 1} (g (u)) \\ = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} u \\ = u \end{matrix}

und das Bild von $ψ$ ist gleich $U$ , d.h. $ψ$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$ . Allerdings ist diese Projektion zusätzlich $G$ -verträglich. Für $h \in G$ ist nämlich (mit $f = g h$ )

\begin{matrix} ψ (h v) & = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g^{- 1} (π (g (h v))) \\ = \frac{1}{n} \sum_{f \in G} (h f^{- 1}) (π (f (v))) \\ = h (\frac{1}{n} \sum_{f \in G} f^{- 1} (π (f (v)))) \\ = h (ψ (v)) . \end{matrix}

Wir setzen nun $W := kern ψ$ . Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$ nach Lemma 30.5 ebenfalls $G$ -invariant, und es ist offenbar $V = U \oplus W$ .

◻

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei.

Dann ist $G$ linear reduktiv.

Beweis

Es sei

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

eine Darstellung von $G$ . Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$ . Bei $\dim_{K} (V) = 0, 1$ ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten $G$ -invarianten Untervektorraum $U \subseteq V$ . Dieser hat nach Lemma 30.6 ein $G$ -invariantes Komplement $W \subseteq V$ . Nach Induktionsvoraussetzung besitzen $U$ und $W$ jeweils eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf $V$ .

◻

Darstellungstheorie kommutativer Gruppen

Kommutative besitzen eine einfachere Darstellungstheorie, da nur eindimensionale Darstellungen irreduzibel sind. Dies ergibt sich aus dem sogenannten Lemma von Schur (der nächsten Aussage). Die Konsequenzen für die kommutativen affin-algebraischen Gruppen (beispielsweise die multiplikative und die additive Gruppe) sind aber unterschiedlich.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $G$ eine Gruppe und seien $V_{1}, V_{2}$ zwei $K$ -Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen $ρ_{1} : G \to {GL}_{} (V_{1})$ und $ρ_{2} : G \to {GL}_{} (V_{2})$ . Es sei $φ : V_{1} \to V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

σ_{2} \circ φ = φ \circ σ_{1}

für alle $σ \in G$ , wobei $σ_{i}$ den zu $σ$ gehörenden Automorphismus auf $V_{i}$ bezeichnet.

Dann ist $φ = 0$ oder aber $φ$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

Beweis

Es sei $φ \neq 0$ . Wir müssen zeigen, dass $φ$ ein Isomorphismus ist. Es sei $U := kern φ$ . Nach Lemma 30.5 ist $U$ $G$ -invariant. Wegen der Irreduzibilität von $ρ_{1}$ ist $U = 0$ oder $U = V_{1}$ , wobei die zweite Möglichkeit wegen $φ \neq 0$ ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) $φ$ injektiv. Es sei jetzt $W := bild φ$ . Nach Lemma 30.5 ist $W$ ebenfalls $G$ -invariant. Der Fall $W = 0$ ist wegen $φ \neq 0$ ausgeschlossen, also ist $W = V_{2}$ wegen der Irreduzibilität von $ρ_{2}$ und somit ist $φ$ auch surjektiv.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine Gruppe und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei $ρ : G \to {GL}_{} (V)$ eine irreduzible Darstellung und es sei $φ : V \to V$ eine lineare Abbildung mit

σ \circ φ = φ \circ σ

für alle $σ \in G$ .

Dann ist $φ$ eine Streckung.

Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an $K$ besitzt $φ$ einen Eigenwert $λ$ . Wir betrachten $φ - λ {Id}_{V}$ . Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für $φ - λ {Id}_{V}$ ebenfalls die Voraussetzung. Nach Lemma 30.8 ist also $φ - λ {Id}_{V}$ ein Isomorphismus oder gleich $0$ . Da es einen nichttrivialen Kern (nämlich den Eigenraum zu $λ$ ) besitzt, muss $φ - λ {Id}_{V} = 0$ sein, also ist $φ$ ein skalares Vielfaches der Identität.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine kommutative Gruppe.

Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ in einen endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum eindimensional.

Beweis

Es sei

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von $G$ gilt für die zu $σ, τ \in G$ gehörenden linearen Abbildungen

σ \circ τ = τ \circ σ .

Aus Korollar 30.9, angewandt für festes $τ$ und alle $σ$ , folgt, dass $τ$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum $G$ -invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität $V$ eindimensional sein.

◻

Fußnoten

↑ Einen solchen Unterraum nennt man ein $G$ -invariantes Komplement von $U$ .

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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)

[1] Einen solchen Unterraum nennt man ein $G$ -invariantes Komplement von $U$ .

[1]