Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 29

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Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe liefert eine Verallgemeinerung von Korollar 80.7 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).

Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung

stehen, wobei eine -Matrix bezeichnet. Dann gilt in die Beziehung


Aufgabe

Zeige, dass die multiplikative Gruppe eine lineare Gruppe ist.


Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe eine lineare Gruppe ist.


Aufgabe

Zeige, dass keine lineare Gruppe über ist.


Aufgabe

Zeige, dass keine affin-algebraische Gruppe über ist.


Aufgabe

Zeige, dass , versehen mit der diskreten Topologie, über keinem Körper eine affin-algebraische Gruppe ist.


Aufgabe

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix erzeugten Untergruppe .


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei linearen Gruppen wieder eine lineare Gruppe ist.


Aufgabe

a) Sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Wir erinnern an zwei Definitionen für Matrizen.


Eine -Matrix der Form

nennt man obere Dreiecksmatrix.


Eine -Matrix der Form

nennt man (obere) Scherungsmatrix.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren -oberen Dreiecksmatrizen über eine Untergruppe der ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und die Gruppe der invertierbaren -oberen Dreiecksmatrizen über . Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

gibt. Bestimme den Kern von .


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren -oberen Scherungsmatrizen über eine Untergruppe der ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und die Gruppe der -oberen Scherungsmatrizen über . Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

gibt. Bestimme den Kern von .


Zeige in den vorstehenden Aufgaben, dass jeweils eine lineare Gruppe (über einem nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körper) vorliegt, und dass die Gruppenhomomorphismen algebraisch definiert sind.

Aufgabe

Es sei ein Körper und die Gruppe der -oberen Scherungsmatrizen über . Zeige, dass es eine kurze exakte Sequenz

gibt, und dass nicht isomorph zu ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix erzeugten Untergruppe .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Untergruppe bei nicht Zariski-dicht ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass keine lineare Gruppe über ist.



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