Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 32/latex

\setcounter{section}{32}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \definitionsverweis {kompakte Untergruppe}{}{} innerhalb der komplexen \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {unitäre Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} \zusatzklammer {als Teilmenge des
\mathl{{\mathbb C}^{n^2}}{}} {} {} \definitionsverweis {abgeschlossenen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} also \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{{ \left( {\mathbb C},+,0 \right) }}{} keine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} enthält, die in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix. Zeige, dass
\mathl{\exp A}{} in der ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[A]}{} liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für \definitionsverweis {vertauschbare Matrizen}{}{}
\mathl{A,B \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( A \circ B \right) }
{ =} { { \left( \exp A \right) } \circ { \left( \exp B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix. Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } \subseteq \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C}) } {t} { \exp \left( tA \right) } {,} gleich
\mathl{A \circ \exp \left( tA \right)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix mit der Eigenschaft
\mathl{\exp \left( tA \right) \in \operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} für alle
\mathl{t \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass $A$ \definitionsverweis {schiefhermitesch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man auf die \definitionsverweis {Exponentialabbildung}{}{} \maabbeledisp {\exp} { \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } \subseteq \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C}) } {A} { \exp A } {,} in der Nullmatrix den Satz über die Umkehrabbildung anwenden kann.

}
{} {}