Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Liste der Hauptsätze

???: Hauptsatz über symmetrische Polynome

Jedes symmetrische Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ lässt sich

eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.

D.h. es ist

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }E^{\nu }\,$

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten ${}a_{\nu }\in K$.

 

???: Gruppenoperationen und Automorphismengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Es sei ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}G$ auf ${}M$ operiert, so ist die Abbildung

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$

   ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),$

   vorliegt, so wird durch

   $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$

   eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ definiert.

 

???: Klassengleichung

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge ${}M$ operiere. Es sei ${}F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen.

Dann ist

${}{\#\left(M\right)}={\#\left(F\right)}+\sum _{i=1}^{n}{\#\left(G_{i}\right)}\,.$

 

???: Quotientenabbildung auf Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Es sei ${}M\backslash G$ der Bahnenraum zu dieser Operation. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Quotientenabbildung

   $q\colon M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$

   ist ${}G$- invariant (wobei ${}G$ auf dem Bahnenraum trivial operiert).

2. Wenn ${}N$ eine weitere Menge ist und

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   eine ${}G$-invariante Abbildung

   (wobei die Operation von ${}G$ auf ${}N$ trivial sei), so gibt es genau eine Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon M\backslash G\longrightarrow N$

   mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$.

 

???: Charakterdual einer Gruppe

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind ${}G$ und ${}G^{\vee }$ isomorphe Gruppen.

 

???: Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$.

Dann ist jede Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(r)$ in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ in einer geeigneten Basis von der Form

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}},$

mit gewissen Einheitswurzeln ${}\zeta _{j}$.

 

???: Graduierung des Fixringes bei linearer Operation

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$.

Dann ist der Fixring ${}R^{G}\subseteq R=K[V]$ der induzierten Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ ein ${}\mathbb {N}$- graduierter Unterring.

Dabei ist

${}{\left(R^{G}\right)}_{d}=(R_{d})^{G}\,,$

die ${}d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes.

 

???: Vergleichslemma für Invariantenringe

Es sei ${}R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R^{G}\subseteq R^{H}$.
2. Sind ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen in ${}G$ mit ${}G=H_{1}\cdot H_{2}$, so ist

   ${}R^{H_{1}}\cap R^{H_{2}}=R^{G}\,.$

3. Ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$, so operiert die Restklassengruppe ${}G/H$ auf ${}R^{H}$ durch

   ${}f[\sigma ]:=f\sigma \,.$

   Dabei ist

   ${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

 

???: Invariantenringe bei konjugierten Gruppen

Es sei

$R\times G\longrightarrow R$

eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring ${}R$ durch Ringautomorphismen. Es seien ${}H,H'\subseteq G$ konjugierte Untergruppen.

Dann sind die Invariantenringe ${}R^{H}$ und ${}R^{H'}$ in natürlicher Weise isomorph.

 

???: Invarianten der Drehgruppe

Die Drehgruppe

${}\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\mid \alpha \in [0,2\pi )\right\}}\,$

operiere linear und simultan auf dem ${}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring ${}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,.$

Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von ${}U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.

 

???: Invariantenring der geordneten Dreiecke

Die orthogonale Gruppe ${}\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ (der Drehungen und der Drehspiegelungen) operiere linear und simultan auf dem

${}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\,.$

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring ${}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]\,.$

Die drei Erzeuger sind dabei algebraisch unabhängig.

Jede polynomiale Invariante eines (nummerierten) Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.

 

???: Quotientenkörper von Invariantenringen

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

 

???: Signumsinvariante Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$.

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ auf dem ${}K^{n}$ die Gleichheit

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}\cdot \triangle \,,$

wobei ${}\triangle =\prod _{j<i}(X_{i}-X_{j})$ die Vandermondesche Determinante ist.

 

???: Invariantenring zur alternierenden Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$. Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ operiere natürlich auf ${}V=K^{n}$.

Dann ist

${}K[V]^{A_{n}}=K[V]^{S_{n}}\oplus K[V]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\oplus K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\cdot \triangle \,.$

 

???: Existenzsatz für Reynolds-Operatoren

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$.

Dann ist die Abbildung

$\rho \colon R\longrightarrow R^{G},\,f\longmapsto {\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}f\sigma ,$

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist ${}R^{G}\subseteq R$ ein direkter Summand.

 

???: Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Aut} _{K}^{}{\left(A\right)},\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$

der Charaktergruppe von ${}D$ in die (homogene) ${}K$- Automorphismengruppe von ${}A$.

Wenn alle ${}A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

 

???: Graduierung und Invariantenringe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zu jedem ${}d\in D$, ${}d\neq 0$, gebe es einen Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ mit

${}\chi (d)\neq 1\,.$

Dann ist ${}A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ auf ${}A$.

 

???: Lemma von Gordan

1. Es sei ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ ein normales endlich erzeugtes Monoid und ${}C=\mathbb {Q} _{\geq 0}M$ der zugehörige rationale Kegel. Dann ist ${}M=\Gamma \cap C$, wobei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ das Differenzengitter zu ${}M$ ist.
2. Wenn umgekehrt ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ eine endlich erzeugte Untergruppe und ${}C\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ ein endlich erzeugter rationaler Kegel ist, so ist der Durchschnitt ${}M=\Gamma \cap C$ ein normales endlich erzeugtes Monoid.

 

???: Monoidringe und Graduierungen

Es sei ${}K$ ein Körper. Für eine kommutative ${}K$- Algebra ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Monoidring über ${}K$ zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien, normalen, spitzen Monoid mit Kürzungsregel.
2. ${}R$ ist die neutrale Stufe einer ${}D$- Graduierung eines Polynomringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$, wobei die Graduierung durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$

   gegeben ist.

 

???: Der Hilbertsche Basissatz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

 

???: Der ganze Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}S$.

 

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

 

???: Ganzheit und Invariantenringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist ${}R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung.

 

???: Satz von Noether

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra, auf der eine endliche Gruppe ${}G$ durch ${}K$- Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}R^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra.

 

???: Hilbertideal und Algebraerzeuger

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}I_{G}$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[f_{1},\ldots ,f_{m}]\,.$

 

???: Charaktere und faktorielle Invariantenringe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu ${}G$ mit Werten in der Einheitengruppe ${}R^{\times }$ sei trivial, d.h. es ist

${}\operatorname {Hom} \left(G,R^{\times }\right)=0\,.$

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

 

???: Dimensionssatz für noethersche Ringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring der Dimension ${}d$.

Dann besitzt der Polynomring ${}R[X]$ die Dimension ${}d+1$.

 

???: Spektrumsabbildung zu Restklassenring und Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ und der Restklassenabbildung

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

   ist die Spektrumsabbildung

   $q^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ${}V({\mathfrak {a}})$ ist.

2. Zu einem multiplikativen System ${}M\subseteq R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{M}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{M}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von ${}R$, die zu ${}M$ disjunkt sind.

3. Zu ${}f\in R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{f}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine offene Einbettung, deren Bild gleich ${}D(f)$ ist.

 

???: Beschreibung der Faser

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.

 

???: Going-up für ganze Ringhomomorphismen

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$ Primideale in ${}R$ und ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.

Dann gibt es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$ in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$.

 

???: Lying over für ganze Ringerweiterungen

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

surjektiv.

 

???: Spektrumsabbildung bei Ganzheit

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

abgeschlossen.

Wenn ${}\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist ${}\varphi ^{*}$ surjektiv.

 

???: Faserdimension bei einer ganzen Erweiterung

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$ Primideale in ${}S$ mit ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$.

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

 

???: Dimension bei ganzer Ringerweiterung

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}=\operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

 

???: Invariantenring und Quotient der Gruppenoperation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

 

???: Primvermeidung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein ${}i$.

 

???: Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}R$- Moduln.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

   ist ${}R$- multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}R$- Modul und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}R$- lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

 

???: Tensorprodukt von Ringen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B$ seien kommutative ${}R$- Algebren.

Dann ist das Tensorprodukt

$A\otimes _{R}B$

eine kommutative ${}R$-Algebra und es gibt ${}R$- Algebrahomomorphismen

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b.$

 

???: Tensorprodukt von Ringen und Produkt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B,S$ seien kommutative ${}R$- Algebren.

Dann ist

$\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A\otimes _{R}B,S\right)}=\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,.$

 

???: Gruppenstruktur zu Hopf-Algebra

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die folgenden Diagramme von ${}K$- Morphismen kommutieren:

   ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \Delta ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (\epsilon ^{*}\iota ^{*})}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\searrow &\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!G&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}G&{\stackrel {S^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\iota ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\operatorname {Spek} {\left(K\right)}&{\stackrel {\epsilon ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

2. Für jede kommutative ${}K$- Algebra ${}L$ ist ${}G(L)$ mit den induzierten Operationen eine Gruppe.

 

???: Hilbert-Reihe eines positiv graduierten Polynomringes

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$, wobei die ${}X_{i}$ den positiven Grad ${}d_{i}\in \mathbb {N} _{+}$ haben mögen.

Dann ist die Hilbert-Reihe dieses Ringes gleich

${}H(R,z)={\frac {1}{{\left(1-z^{d_{1}}\right)}\cdots {\left(1-z^{d_{n}}\right)}}}\,.$

 

???: Die Formel von Molien

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Dann ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

 

???: Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear und treu auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist eine Reflektionsgruppe.
2. Der Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ ist (isomorph zu einem) ein Polynomring (in ${}n$ Variablen).

 

???: Endliche Untergruppen der ${}\operatorname {SO} _{2}$

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.

Dann ist ${}G$ eine zyklische Gruppe.

 

???: Eigentliche Isometrie im ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist ...

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine eigentliche Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.

Das bedeutet, dass ${}\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

 

???: Numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Ordnung ${}n$ in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Es seien ${}K_{1},\ldots ,K_{m}$ die verschiedenen Halbachsenklassen zu ${}G$, und zu jeder dieser Klassen sei ${}n_{i}$, ${}i=1,\ldots ,m$, die Ordnung der Gruppe ${}G_{H}$, ${}H\in K_{i}$, die nach Lemma 22.1 unabhängig von ${}H\in K_{i}$ ist.

Dann ist

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

 

???: Lösungen für Platongleichung

Die numerische Gleichung

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

mit

${}n\geq 2,\,m\in \mathbb {N}$ und mit ${}2\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \ldots \leq n_{m}\leq n$ besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.

1. ${}m=2$ und ${}n=n_{1}=n_{2}$.
2. Bei ${}m=3$ gibt es die Möglichkeiten
   1. ${}n_{1}=n_{2}=2$ und ${}n=2n_{3}$,
   2. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=n_{3}=3$ und ${}n=12$,
   3. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=4$, und ${}n=24$,
   4. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=5$, und ${}n=60$.

 

???: Klassifikationssatz für endliche Symmetriegruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Dann ist ${}G$ eine der folgenden Gruppen.

1. Eine zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$, ${}n\geq 1$,
2. Eine Diedergruppe ${}D_{k}$, ${}k\geq 2$,
3. Die Tetraedergruppe ${}A_{4}$,
4. Die Würfelgruppe ${}S_{4}$,
5. Die Ikosaedergruppe ${}A_{5}$.

 

???: Satz über die Überlagerung der Raumgruppe

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

dessen Kern gleich

$\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\}$

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ und $v=c+d{\mathrm {i} }$ unter der Bedingung $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$) durch

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$

realisiert werden.

 

???: Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

Die endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind bis auf Isomorphie

1. die endlichen zyklischen Gruppen ${}Z_{n}$,
2. die binären Diedergruppen ${}BD_{n}$, ${}n\geq 2$,
3. die binäre Tetraedergruppe ${}BT$,
4. die binäre Oktaedergruppe ${}BO$,
5. die binäre Ikosaedergruppe ${}BI$.

 

???: Semiinvarianten bei endlichen ebenen Gruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe mit ihrer natürlichen Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[U,V]$. Es sei ${}H=\pi (G)$ die zugehörige Untergruppe von ${}\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ und es sei ${}K$ eine Bahn zur Operation von ${}H$ auf der Sphäre ${}S^{2}$, die wir auch mit der komplex-projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und der Menge der eindimensionalen Untervektorräume in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ identifizieren. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zur Klasse ${}K$ mit den darin enthaltenen Punkten (in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$)

   $(a_{1}:b_{1}),\,(a_{2}:b_{2}),\ldots ,(a_{r}:b_{r})$

   ist das Polynom

   ${}F:=\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\,$

   ${}G$- semiinvariant.

2. Insbesondere ist zu einer Halbachsenklasse

   $K=(a_{1}:b_{1}),\,(a_{2}:b_{2}),\ldots ,(a_{r}:b_{r})$

   das Polynom

   ${}F:=\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\,$

   ${}G$- semiinvariant.

3. Wenn ${}F\in {\mathbb {C} }[U,V]$ ein homogenes, ${}G$- semiinvariantes Polynom mit der Faktorzerlegung

   ${}F=\prod _{j=1}^{s}{\left(d_{j}U-c_{j}V\right)}\,$

   ist, und wenn ${}(c:d)$ einer dieser (Nullstellen)-Punkte ist, so ist auch ${}h(c:d)$ für ${}h\in H$ ein solcher Punkt.

 

???: Faktorialität der ${}E_{8}$-Singularität

Der Restklassenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$

ist faktoriell.

 

???: Fundamentalgruppe bei fixpunktfreien Gruppenoperationen

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem einfach zusammenhängenden Hausdorff-Raum ${}X$ fixpunktfrei operiere.

Dann ist

$X\longrightarrow X\backslash G$

eine Überlagerung und die Fundamentalgruppe des Bahnenraumes ${}X\backslash G$ ist gleich ${}G$.

 

???: Lokale Fundamentalgruppe der ADE-Singularitäten

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen zweidimensionalen speziellen Quotientensingularität ${}R={\mathbb {C} }[U,V]^{G}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Operation von ${}G$ auf ${}{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\}$ ist fixpunktfrei.
2. Die lokale Fundamentalgruppe von ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ ist gleich ${}G$, wobei ${}P$ der singuläre Punkt von ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$ ist.

 

???: Lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen

Es sei ${}D$ eine kommutative endliche Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}n\geq 2$. Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als ${}D$- Graduierung auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auf. Es sei ${}\Gamma$ der Kern von ${}\delta$, ${}M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}$ das zugehörige Monoid und

${}{\mathbb {C} }[M]\subseteq {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene ${}G$- invariante Teilmenge ${}T\subset {\mathbb {C} }^{n}$ derart gegeben, dass ${}T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass ${}T$ mindestens die Kodimension ${}2$ besitzt und dass die induzierte Operation von ${}G$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Fundamentalgruppe von

   ${}Y\setminus q(T)={\left({\mathbb {C} }^{n}\setminus T\right)}/G\,$

   ist ${}G$.

2. Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma$ ist. Die Zuordnung

   $F\colon \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},{\mathbb {C} }^{\times }\right),\,\gamma \longmapsto F(\gamma )={\left(e_{j}\mapsto e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\right)},$

   induziert einen Gruppenisomorphismus

   $\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G.$

3. Die zu ${}\gamma \in \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)$ gehörende Abbildung

   $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}\subseteq Y\setminus q(T),\,t\longmapsto (t^{\gamma (u_{1})},\ldots ,t^{\gamma (u_{n})}),$

   (${}u_{j}$ sei eine Basis von $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{n}$) ergibt durch Einschränkung auf ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen stetigen geschlossenen Weg

   $[0,2\pi ]\longrightarrow Y\setminus q(T).$

4. Die Liftung des Weges aus (3) nach ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ mit dem Anfangspunkt ${}(1,\ldots ,1)$ ist durch

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}\setminus T,\,s\longmapsto \left(e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{1})}{m}},\,\ldots ,\,e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{n})}{m}}\right),$

   gegeben. Der Weg ${}\gamma ^{*}{|}_{S^{1}}$ repräsentiert das nach (2) zu ${}\gamma$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe ${}G$.

 

???: Lemma von Maschke

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei. Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine Darstellung in einen endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und ${}U\subseteq V$ ein ${}G$- invarianter Untervektorraum.

Dann gibt es einen ${}G$-invarianten Untervektorraum ${}W\subseteq V$ mit ${}V=U\oplus W$.

 

???: Satz von Maschke

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei.

Dann ist ${}G$ linear reduktiv.

 

???: Lemma von Schur

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ eine Gruppe und seien ${}V_{1},V_{2}$ zwei ${}K$- Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen ${}\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{1}\right)}$ und ${}\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{2}\right)}$. Es sei ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$

für alle ${}\sigma \in G$, wobei ${}\sigma _{i}$ den zu ${}\sigma$ gehörenden Automorphismus auf ${}V_{i}$ bezeichnet.

Dann ist ${}\varphi =0$ oder aber ${}\varphi$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

 

???: Irreduzible Darstellung zu kommutativer Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine kommutative Gruppe.

Dann ist jede irreduzible Darstellung von ${}G$ in einen endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum eindimensional.

 

???: Charakterisierung von linear reduktiven Gruppen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${}K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}G$ ist linear reduktiv.
2. Zu jeder ${}K$- rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ besitzt ${}V^{G}\subseteq V$ ein eindeutig bestimmtes ${}G$- Komplement ${}W\subseteq V$. Dabei gilt ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$.
3. Zu jeder ${}K$- rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und jedem ${}v\in V^{G}$, ${}v\neq 0$, gibt es eine ${}G$- invariante Linearform ${}f\in {V}^{*}$ mit ${}f(v)\neq 0$.
4. Zu jeder ${}K$- rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und jedem ${}G$- Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt es ein ${}G$- Komplement.

 

???:

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ ein affines Gruppenschema über ${}K$ und

$\nu \colon G\times X\longrightarrow X$

eine ${}K$- algebraische Operation von ${}G$ auf einem affinen Schema ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra sei.

Dann liegt jedes ${}f\in R$ in einem endlichdimensionalen ${}G(K)$- invarianten ${}K$- Untervektorraum von ${}R$.

 

???: Operation einer linear reduktiven Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einer endlich erzeugten ${}K$- Algebra ${}R$ algebraisch operiere.

Dann ist ${}R^{G}\subseteq R$ ein direkter Summand.

 

???: Invariantenring einer linear reduktiven Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ ${}K$- rational operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}K[V]^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra.

 

???: Invariantenring einer linear reduktiven Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einer endlich erzeugten ${}K$- Algebra ${}R$ ${}K$- algebraisch operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}R^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra.

 

???: Existenz des Haarschen Maßes

Auf einer kompakten topologischen Gruppe ${}G$

existiert ein Maß ${}\mu$ (auf der ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen) mit den beiden folgenden Eigenschaften.

1. ${}\mu (T)=\mu (g(T))$ für jede messbare Menge ${}T\subseteq G$.
2. Es ist ${}\mu (G)=1$.

Das Maß ist durch diese beiden Eigenschaften eindeutig bestimmt.

 

???: Satz von Hurwitz-Schur

Es sei ${}G$ eine kompakte Gruppe und

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine stetige Darstellung auf dem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine direkte Zerlegung von ${}V$ in irreduzible Darstellungen.

 

???: Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen

Die klassischen Gruppen

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {O} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SO} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {Sp} _{n}\!\,{\left({\mathbb {C} }\right)}$

sind linear reduktiv.