Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Topologie/Textabschnitt

Anhang 3 - Topologie

Definition

Ein topologischer Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ besteht aus einer Menge ${}X$ zusammen mit einer Teilmenge ${}{\mathcal {T}}$ der Potenzmenge von ${}X$, die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen $U\subseteq X$, die zu ${}{\mathcal {T}}$ gehören, nennt man offene Mengen).

1. Die leere Menge und die ganze Menge ${}X$ sind offen (d.h. gehören zu ${}{\mathcal {T}}$).
2. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {T}}$ ist auch ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{n}\in {\mathcal {T}}$.
3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für jedes ${}i\in I$ (zu einer beliebigen Indexmenge ${}I$) ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Definition

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Definition

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Y$ eine Menge und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung. Dann ist das Mengensystem

${\mathcal {T}}={\left\{V\subseteq Y\mid \varphi ^{-1}(V){\text{ ist offen in }}X\right\}}$

eine Topologie auf ${}Y$, die die Bildtopologie von ${}X$ unter ${}\varphi$ heißt.