Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Ganzheit}
In der nächsten Vorlesung werden wir sehen, dass bei einer endlichen Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert, der Ring ganz über seinem Invariantenring ist, wodurch eine enge Beziehung zwischen diesen beiden Ringen gestiftet wird. Hier führen wir die Ganzheit und verwandte Begriffe ein.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizienten \mathind { r_{i} } { i=0 , \ldots , n-1 }{,} zu $R$ gehören, eine \definitionswort {Ganzheitsgleichung}{} für $x$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {ganz}{}
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sind, den \definitionswort {ganzen Abschluss}{} von $R$ in $S$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Dann heißt $S$ \definitionswort {ganz}{} über $R$, wenn jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ ist.
}
$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ringerweiterung.}
\faktuebergang {Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$x$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$.
}{Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die ein endlicher $R$-Modul ist.
}{Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
aus $S$ enthält, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra
\mathl{R[x]}{} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ersetzen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[x]
}
{ =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Potenzen
\mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} bilden ein endliches Erzeugendensystem von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ R[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xT
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere
\mathl{xy_i}{} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x y_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
oder, als Matrix geschrieben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & - r_{1,2} & \ldots & - r_{1,n} \\ - r_{2,1} & x -r_{2,2} & \ldots & - r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -r_{n,1} & - r_{n,2} & \ldots & x- r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nennen wir diese Matrix $A$
\zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {} {,}
und sei
\mathl{A^{ \operatorname{adj} }}{} die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}{}} {} {}
und
nach der Cramerschen Regel
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A
}
{ = }{ (\det A )E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ((\det A ) E_n) y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det A ) y_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\det A ) z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ring\-erweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Ganzheitsgleichungen \mathind { X-r } { r \in R }{,} zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz über $R$. Nach
der Charakterisierung der Ganzheit
gibt es endliche $R$-Unteralgebren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T_1,T_2
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \in }{T_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ \in }{T_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_1$ und
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_2$. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1
}
{ = }{z_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {T_1 \cdot T_2
}
{ =} {\langle y_iz_j, \, i= 1 , \ldots , n, \, j = 1 , \ldots , m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der offensichtlich
\mathl{x_1+x_2}{} und
\mathl{x_1x_2}{}
\zusatzklammer {und $1$} {} {}
enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum r_{ij} y_iz_j \right) } { \left( \sum s_{kl} y_kz_l \right) }
}
{ =} { \sum r_{ij}s_{kl} y_iy_k z_jz_l
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und für die Produkte gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_iy_k
}
{ \in }{ T_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_jz_l
}
{ \in }{ T_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.
\inputdefinition
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{.}
Man nennt $R$ \definitionswort {ganz-abgeschlossen}{} in $S$, wenn der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.
}
\zwischenueberschrift{Ganzheit und Endlichkeit}
Eng verwandt mit der Ganzheit
\mathl{A \subseteq B}{} ist die Endlichkeit der Algebra $B$ über $A$, die einfach bedeutet, dass $B$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$A$-Modul ist.
\inputfaktbeweis
{Endliche kommutative Algebra/Endlicher Modul/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $S$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{} $R$-Algebra und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{} $S$-Modul.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ auch ein endlich erzeugter $R$-Modul.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{s_1 , \ldots , s_k}{} ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $S$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ein $S$-Modul-Erzeugendensystem von $M$. Dann bilden die Produkte
\mathbed {s_i v_j} {}
{1 \leq i \leq k} {}
{1 \leq j \leq n} {} {} {,}
ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$.
\inputfaktbeweis
{Endliche kommutative Algebra/Transitivität/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $S$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{} $R$-Algebra und $T$ eine endliche $S$-Algebra.}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ eine endliche $R$-Algebra.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 11.8.
\inputfaktbeweis
{Ganze Ringerweiterung/Endlich erzeugt/Endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {} ein
\definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{}
\definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $S$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $R$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{S=R[x_1 , \ldots , x_n]}{.} Wir betrachten die Kette
\mathdisp {R \longrightarrow R[x_1] \longrightarrow R[x_1,x_2] \longrightarrow \ldots \longrightarrow R[x_1 , \ldots , x_n]=S} { }
von ganzen Ringhomomorphismen, die jeweils durch ein Element erzeugt werden.
Nach Korollar 11.9
genügt es zu zeigen, dass
\maabbdisp {} {R} {R[x]
} {}
endlich ist, wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
über $R$ erfüllt. Mit der Ganzheitsgleichung lässt sich aber eine Potenz
\zusatzklammer {und damit alle höheren Potenzen} {} {}
von $x$ als
$R$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der kleineren Potenzen ausdrücken, so dass ein endlich erzeugter $R$-Modul vorliegt.
\zwischenueberschrift{Normale und faktorielle Integritätsbereiche}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} heißt \definitionswort {normal}{,} wenn er \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} in seinem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} ist.
}
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt \definitionswort {faktorieller Bereich}{,} wenn jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als ein Produkt von
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
schreiben lässt.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{ $R$ ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}{Jede Nichteinheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine Faktorzerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{,}
und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
eindeutig.
}{Jede Nichteinheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, so dass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist.
Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Primelement gibt, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{q_1 { \cdots } q_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_i$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{p_1 { \cdots } p_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {p_1 { \cdots } p_s
}
{ =} {q_1 { \cdots } q_r
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_1$ einen der Faktoren rechts, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p_1 u
}
{ = }{q_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_1$ kürzen, wobei wir
\mathl{u^{-1}}{} mit $q_2$ verarbeiten können, was ein zu $q_2$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element
\mathl{p_2 \cdots p_s}{} hat eine Faktorzerlegung mit
\mathl{s-1}{} Primelementen, so dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
$(2) \Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{qh
}
{ =} {fg
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
$h,\, f$ und $g$
gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, so dass sich insgesamt die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ qh_1 { \cdots } h_r
}
{ =} { f_1 { \cdots } f_s g_1 { \cdots } g_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir $f_1$, der assoziiert zu $q$ ist. Dann teilt $q$ auch den ursprünglichen Faktor $f$.
$(3) \Rightarrow (1)$. Das ist trivial.
Der Polynomring über einem Körper ist faktoriell, was wir aber nicht beweisen werden.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$
\definitionsverweis {normal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das die
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \cdots + r_1q +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir schreiben
\mathbed {q= a/b} {mit}
{a,b \in R} {}
{b \neq 0} {} {} {,}
wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also
\mathkor {} {a} {und} {b \in R} {}
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$ ist, da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ a b^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^n+ { \left( r_{n-1}b \right) } a^{n-1} + { \left( r_{n-2}b^2 \right) } a^{n-2} + \cdots + { \left( r_1b^{n-1} \right) } a + { \left( r_0 b^n \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden
\mathbed {{ \left( r_{n-i}b^{i} \right) } a^{n-i}} {für}
{i \geq 1} {}
{} {} {} {}
und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{Q(R)}{} sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $R$ in
\mathl{Q(R)}{} die \definitionswort {Normalisierung}{} von $R$.
}
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