Kurs:Körper- und Galoistheorie/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 2 5 0 4 0 0 0 11 0 4 0 0 32



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Algebrahomomorphismus zwischen -Algebren und .
  3. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  4. Eine Kummererweiterung zum Exponenten eines Körpers , der eine primitive -te Einheitswurzel enthält.
  5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
  2. Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
  3. /Fakt/Name


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (11 Punkte)

Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten und die Tangente an die Standardparabel zur Stelle .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)