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Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 3 0 3 0 3 0 0 9 0 0 0 5 0 34




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  2. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  3. Eine algebraische Körpererweiterung .
  4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  5. Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .
  6. Eine rein transzendente Körpererweiterung .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
  3. /Fakt/Name



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung auf derart gegeben, dass ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte . Zeige, dass die übliche Multiplikation sein muss.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

alle verschieden sind.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (5 Punkte)

Beschreibe eine konstruierbare Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, die keine Einheitswurzel ist.



Aufgabe (0 Punkte)