Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{4}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
von
\definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.}
D.h. es gibt eine Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \cong} { \Z^r \times \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{x_1,\ldots ,x_m}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $G$. Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Z^m} {G
} {(a_1,\ldots ,a_m)} {a_1x_1+\cdots+a_mx_m} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{.}
Aufgrund von
Korollar 5.10
ist G daher
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\Z^m / \operatorname{kern} \varphi}{.}
$\operatorname{kern} \varphi$ enthält nach Definition des
\definitionsverweis {Kerns}{}{}
genau alle Darstellungen des
\definitionsverweis {neutralen Elements}{}{}
von $G$ in $\Z^m$. Damit wir $G$, bzw.
\mathl{\Z^m / \operatorname{kern} \varphi}{} genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.
$\operatorname{kern} \varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z^m$ und kann daher aufgrund von
Fakt *****
durch
\mathl{y_1,\ldots,y_n, y_i\in \Z^m}{} erzeugt werden, wobei
\mathl{n \leq m}{.} Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ schreiben. Es gilt dann
\mathdisp {\operatorname{bild} M = \operatorname{kern} \varphi} { . }
Der
Fakt *****
erlaubt es, $M=LDR$ zu schreiben, wobei
\mathl{L=L_1\cdots L_p}{} und
\mathl{R=R_q\cdots R_1}{} Hintereinanderschaltungen von über $\Z$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden $L$ und $R$ die Gruppe $\Z^m$ auf $\Z^m$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von $M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von
\mathl{L^{-1}MR^{-1}=D}{} erzeugten Untergruppe $\operatorname{bild} D$
\mathdisp {\begin{array}{rcl}
\Z^m&\stackrel{L^{-1}\cdot\Box\cdot R^{-1} }{\longrightarrow}&\Z^m \\
\Z^m/\operatorname{bild} M&\stackrel{\cong}{\longrightarrow}&\Z^m/\operatorname{bild} L^{-1}MR^{-1}\\
\end{array}} { }
Die Matrix $D$ hat aber nach Fakt *****
die Form $\operatorname{Diag}(n_1,\ldots,n_s,0,\ldots,0)$. Die Gruppe $\operatorname{bild} D$ hat daher die Form
\mathl{(n_1)\times\cdots\times (n_s) \times 0 \times \cdots \times 0}{.}
Daraus folgt schließlich:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{G
}
{ \cong} {\Z^m / \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} {\Z^m / \operatorname{bild} M
}
{ \cong} {\Z^m / \operatorname{bild} D
}
{ =} {\Z^m / ((n_1) \times \cdots \times (n_s)\times 0 \times \cdots \times 0)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\Z / (n_1) \times \cdots \times \Z /(n_s)\times \Z^r
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ das
\definitionsverweis {Produkt}{}{} von endlichen
\definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.}
D.h. es gibt eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mathdisp {G \cong \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz Anhang 4.1.
In diesem Zusammenhang sollte auch der chinesische Restsatz erwähnt werden, der eine weitere Poduktzerlegung der zyklischen Gruppen erlaubt, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.
\inputfaktbeweis
{Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die $p_i$ seien also verschieden und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r_i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
\maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} )
} {}
einen
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Zu gegebenen ganzen Zahlen
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_k)}{} gibt es also genau eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die
\betonung{simultanen Kongruenzen}{}
\mathdisp {a= a_1 \mod p_1^{r_1}, \,\, a= a_2 \mod p_2^{r_2}, \, \ldots , \,\, a= a_k \mod p_k^{r_k}} { }
löst.}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring
\zusatzklammer {rechts} {} {}
zu $0$ wird, also modulo $p_i^{r_i}$ den Rest $0$ hat für alle
\mathl{i=1,2 , \ldots , k}{.} Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_i^{r_i}$ für alle
\mathl{i=1,2 , \ldots , k}{,} d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_i$ zumindest mit den Exponenten $r_i$ vorkommen. Also muss $x$
nach Fakt *****
ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/(n)}{} und die Abbildung ist injektiv.
Für die Einheitengruppe ergibt dies das folgende Korollar.
\inputfakt{Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt}{Korollar}{}
{
\faktsituation {Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {(die $p_i$ seien also verschieden und \mathlk{r_i \geq 1}{).}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ \cong} { { \left( \Z/(p_1^{r_1} ) \right) }^{\times} \times \cdots \times { \left( \Z/(p_k^{r_k} ) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist eine Zahl $a$ genau dann eine Einheit modulo $n$, wenn sie eine Einheit modulo
\mathl{p_i^{r_i}}{} ist für
\mathl{i=1 , \ldots , k}{.}}
\faktzusatz {}
}