Zum Inhalt springen

Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{4}





\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} D.h. es gibt eine Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ \cong} { \Z^r \times \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathl{x_1,\ldots ,x_m}{} ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $G$. Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z^m} {G } {(a_1,\ldots ,a_m)} {a_1x_1+\cdots+a_mx_m} {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{.} Aufgrund von Korollar 5.11 ist G daher \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\Z^m / \operatorname{kern} \varphi}{.}


$\operatorname{kern} \varphi$ enthält nach Definition des \definitionsverweis {Kerns}{}{} genau alle Darstellungen des \definitionsverweis {neutralen Elements}{}{} von $G$ in $\Z^m$. Damit wir $G$, bzw.
\mathl{\Z^m / \operatorname{kern} \varphi}{} genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

$\operatorname{kern} \varphi$ ist eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z^m$ und kann daher aufgrund von Fakt ***** durch
\mathl{y_1,\ldots,y_n, y_i\in \Z^m}{} erzeugt werden, wobei
\mathl{n \leq m}{.} Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ schreiben. Es gilt dann
\mathdisp {\operatorname{bild} M = \operatorname{kern} \varphi} { . }

Der Fakt ***** erlaubt es, $M=LDR$ zu schreiben, wobei
\mathl{L=L_1\cdots L_p}{} und
\mathl{R=R_q\cdots R_1}{} Hintereinanderschaltungen von über $\Z$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden $L$ und $R$ die Gruppe $\Z^m$ auf $\Z^m$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von $M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von
\mathl{L^{-1}MR^{-1}= D}{} erzeugten Untergruppe $\operatorname{bild} D$


\mathdisp {\begin{array}{rcl} \Z^m&\stackrel{L^{-1}\cdot\Box\cdot R^{-1} }{\longrightarrow}&\Z^m \\ \Z^m/\operatorname{bild} M&\stackrel{\cong}{\longrightarrow}&\Z^m/\operatorname{bild} L^{-1}MR^{-1}\\ \end{array}} { }

Die Matrix $D$ hat aber nach Fakt ***** die Form $\operatorname{Diag}(n_1,\ldots,n_s,0,\ldots,0)$. Die Gruppe $\operatorname{bild} D$ hat daher die Form
\mathl{(n_1)\times\cdots\times (n_s) \times 0 \times \cdots \times 0}{.}

Daraus folgt schließlich:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{G }
{ \cong} {\Z^m / \operatorname{kern} \varphi }
{ =} {\Z^m / \operatorname{bild} M }
{ \cong} {\Z^m / \operatorname{bild} D }
{ =} {\Z^m / ((n_1) \times \cdots \times (n_s)\times 0 \times \cdots \times 0) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\Z / (n_1) \times \cdots \times \Z /(n_s)\times \Z^r }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von endlichen \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} D.h. es gibt eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mathdisp {G \cong \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz Anhang 4.1.

}


In diesem Zusammenhang sollte auch der chinesische Restsatz erwähnt werden, der eine weitere Poduktzerlegung der zyklischen Gruppen erlaubt, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.





\inputfaktbeweis
{Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {die $p_i$ seien also verschieden und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r_i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} ) } {} einen \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Zu gegebenen ganzen Zahlen
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_k)}{} gibt es also genau eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die die
\betonung{simultanen Kongruenzen}{}
\mathdisp {a= a_1 \mod p_1^{r_1}, \,\, a= a_2 \mod p_2^{r_2}, \, \ldots , \,\, a= a_k \mod p_k^{r_k}} { }
löst.}
\faktzusatz {}

}
{

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring \zusatzklammer {rechts} {} {} zu $0$ wird, also modulo $p_i^{r_i}$ den Rest $0$ hat für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1,2 , \ldots , k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_i^{r_i}$ für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1,2 , \ldots , k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_i$ zumindest mit dem Exponenten $r_i$ vorkommen. Also muss $x$ nach Fakt ***** ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{\Z/(n)}{} und die Abbildung ist injektiv.

}


Für die Einheitengruppe ergibt dies das folgende Korollar.


\inputfakt{Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt}{Korollar}{} {

\faktsituation {Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}}
\faktvoraussetzung {\zusatzklammer {die $p_i$ seien also verschieden und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r_i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Z/(n) \right) }^{\times} }
{ \cong} { { \left( \Z/(p_1^{r_1} ) \right) }^{\times} \times \cdots \times { \left( \Z/(p_k^{r_k} ) \right) }^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist eine Zahl $a$ genau dann eine Einheit modulo $n$, wenn sie eine Einheit modulo
\mathl{p_i^{r_i}}{} ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}

}