Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt

Satz

Es sei $G$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.

Dann ist $G$ das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

$G ≅ ℤ^{r} \times ℤ / (n_{1}) \times \dots \times ℤ / (n_{s}) .$

Beweis

Es sei $x_{1}, \dots, x_{m}$ ein Erzeugendensystem von $G$ . Dann ist die Abbildung

φ : ℤ^{m} ⟶ G, (a_{1}, \dots, a_{m}) ⟼ a_{1} x_{1} + \dots + a_{m} x_{m}

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Korollar 5.11 ist G daher isomorph zu $ℤ^{m} / kern φ$ .

$kern φ$ enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von $G$ in $ℤ^{m}$ . Damit wir $G$ , bzw. $ℤ^{m} / kern φ$ genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

$kern φ$ ist eine Untergruppe von $ℤ^{m}$ und kann daher aufgrund von Fakt ***** durch $y_{1}, \dots, y_{n}, y_{i} \in ℤ^{m}$ erzeugt werden, wobei $n \leq m$ . Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer $m \times n$ -Matrix

M

schreiben. Es gilt dann

bild M = kern φ .

Der Fakt ***** erlaubt es, $M = L D R$ zu schreiben, wobei $L = L_{1} \dots L_{p}$ und $R = R_{q} \dots R_{1}$ Hintereinanderschaltungen von über $ℤ$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden $L$ und $R$ die Gruppe $ℤ^{m}$ auf $ℤ^{m}$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von $M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von $L^{- 1} M R^{- 1} = D$ erzeugten Untergruppe $bild D$ :

\begin{matrix} ℤ^{m} & \overset{L^{- 1} \cdot ◻ \cdot R^{- 1}}{⟶} & ℤ^{m} \\ ℤ^{m} / bild M & \overset{≅}{⟶} & ℤ^{m} / bild L^{- 1} M R^{- 1} \end{matrix}

Die Matrix $D$ hat aber nach Fakt ***** die Form $Diag (n_{1}, \dots, n_{s}, 0, \dots, 0)$ . Die Gruppe $bild D$ hat daher die Form $(n_{1}) \times \dots \times (n_{s}) \times 0 \times \dots \times 0$ .

Daraus folgt schließlich:

\begin{matrix} G & ≅ ℤ^{m} / kern φ \\ = ℤ^{m} / bild M \\ ≅ ℤ^{m} / bild D \\ = ℤ^{m} / ((n_{1}) \times \dots \times (n_{s}) \times 0 \times \dots \times 0) \\ = ℤ / (n_{1}) \times \dots \times ℤ / (n_{s}) \times ℤ^{r} . \end{matrix}

◻

Korollar

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe.

Dann ist $G$ das Produkt von endlichen zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

$G ≅ ℤ / (n_{1}) \times \dots \times ℤ / (n_{s}) .$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz Anhang 4.1.

◻

In diesem Zusammenhang sollte auch der chinesische Restsatz erwähnt werden, der eine weitere Poduktzerlegung der zyklischen Gruppen erlaubt, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.

Satz

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

n = p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}

(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i} \geq 1$ ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $ℤ / (n) \to ℤ / (p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

$ℤ / (n) ≅ ℤ / (p_{1}^{r_{1}}) \times ℤ / (p_{2}^{r_{2}}) \times \dots \times ℤ / (p_{k}^{r_{k}}) .$

Zu gegebenen ganzen Zahlen $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl $a < n$ , die die simultanen Kongruenzen

a = a_{1} mod p_{1}^{r_{1}}, a = a_{2} mod p_{2}^{r_{2}}, \dots, a = a_{k} mod p_{k}^{r_{k}}

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$ , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu $0$ wird, also modulo $p_{i}^{r_{i}}$ den Rest $0$ hat für alle $i = 1, 2, \dots, k$ . Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ für alle $i = 1, 2, \dots, k$ , d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten $r_{i}$ vorkommen. Also muss $x$ nach Fakt ***** ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$ . Damit ist $x = 0$ in $ℤ / (n)$ und die Abbildung ist injektiv.

◻

Für die Einheitengruppe ergibt dies das folgende Korollar.

Korollar

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n = p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ (die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i} \geq 1$ ).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

${(ℤ / (n))}^{\times} ≅ {(ℤ / (p_{1}^{r_{1}}))}^{\times} \times \dots \times {(ℤ / (p_{k}^{r_{k}}))}^{\times} .$

Insbesondere ist eine Zahl $a$ genau dann eine Einheit modulo $n$ , wenn sie eine Einheit modulo $p_{i}^{r_{i}}$ ist für $i = 1, \dots, k$ .

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