Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt

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Satz  

Sei eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.

Dann ist das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

Beweis  

Sei ein Erzeugendensystem von . Dann ist die Abbildung

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Korollar 5.10 ist G daher isomorph zu .


enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von in . Damit wir , bzw. genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

ist eine Untergruppe von und kann daher aufgrund von Fakt ***** durch erzeugt werden, wobei . Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer -Matrix

schreiben. Es gilt dann

Der Fakt ***** erlaubt es, zu schreiben, wobei und Hintereinanderschaltungen von über invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden und die Gruppe auf ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe :

Die Matrix hat aber nach Fakt ***** die Form . Die Gruppe hat daher die Form .

Daraus folgt schließlich:




Korollar  

Sei eine endliche kommutative Gruppe.

Dann ist das Produkt von endlichen zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz Anhang 4.1.


In diesem Zusammenhang sollte auch der chinesische Restsatz erwähnt werden, der eine weitere Poduktzerlegung der zyklischen Gruppen erlaubt, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.



Satz  

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden und ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus

Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl , die die simultanen Kongruenzen

löst.

Beweis  

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Sei eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu wird, also modulo den Rest hat für alle . Dann ist ein Vielfaches von für alle , d.h. in der Primfaktorzerlegung von muss zumindest mit den Exponenten vorkommen. Also muss nach Fakt ***** ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von . Damit ist in und die Abbildung ist injektiv.


Für die Einheitengruppe ergibt dies das folgende Korollar.


Korollar

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden und ).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

Insbesondere ist eine Zahl genau dann eine Einheit modulo , wenn sie eine Einheit modulo ist für .



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