Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$. Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L }
{ \leq} { n ! }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine weitere Körpererweiterung. Es sei $E$ die Menge der $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} von $L$ nach $M$. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( E) } {\varphi} { ( \iota \mapsto \iota \circ \varphi ) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge
\mathl{\mu_4({\mathbb C})}{} der vierten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$. Welche sind untereinander über $\Q$ \definitionsverweis {konjugiert}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die $n$ Vektoren \zusatzklammer {im ${\mathbb C}^n$} {} {}
\mathbeddisp {(1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{n-1})} {}
{\zeta \in \mu_n({\mathbb C})} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ e^{ \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der $(n \times n)$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {(( \zeta^{r+s})_{0 \leq r,s \leq n-1})} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1,2,3,4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galois\-erweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_4}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2(X) \subseteq {\mathbb F}_2 (X)[T]/(T^2-X)}{} keine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\mu_n(L)}{} \zusatzklammer {zu \mathlk{n \in \N_+}{}} {} {} die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen \definitionsverweis {natürlichen}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { \operatorname{Aut} \, (\mu_n(L)) } {} gibt.

}
{} {}

Bei einer endlichen Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} kann man jeden $K$-Algebra-Automorphismus von $L$ \zusatzgs {also jedes Element der Galoisgruppe} {} als eine bijektive $K$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {L \cong K^n} {L \cong K^n } {} auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der \definitionsverweis {Determinante}{}{} zur Verfügung.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{G= \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {G} { K^{\times} } {\varphi} { \det \varphi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { D^{ \vee } } { K^{\times} } {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L[X]} {L[X] } {\sum_{i = 0}^n a_iX^i } {\sum_{i = 0}^n \varphi(a_i)X^i } {,} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} des Polynomrings $L[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{K\subseteq L}{} eine $D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Beweise für
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{d \in D} \chi (d) }
{ =} { \det \varphi_\chi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $\varphi_\chi$ den zugehörigen $K$-Automorphismus von $L$ bezeichnet \zusatzklammer {siehe Lemma 9.11} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge
\mathl{\mu_8({\mathbb C})}{} der achten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$. Welche sind untereinander über $\Q$ \definitionsverweis {konjugiert}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ mit der zugehörigen \definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} mit Werten in einem Körper $K$.

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { K^{\times} } {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d) } {,} nur die Werte \mathkor {} {1} {und} {-1} {} annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass
\mathl{K}{} eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält. Zeige, dass $\psi$ genau dann den Wert $-1$ annimmt, wenn
\mathl{n}{} gerade ist.

}
{} {}