Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 13

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Automorphismen und Nullstellen



Lemma  

Es sei ein Körper, ein Polynom und der Zerfällungskörper von . Es seien die Nullstellen von in .

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

der Galoisgruppe in die Permutationsgruppe der Nullstellen.

Beweis  

Sei . Nach Lemma 8.15 ist wieder eine Nullstelle von , daher muss für ein gewisses sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da injektiv ist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nach Lemma 3.14 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)) bijektiv und somit eine Permutation. Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nach Lemma 8.14 ein injektiver Homomorphismus vor.



Definition  

Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra. Zwei über algebraische Elemente heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.



Satz  

Es sei eine endliche Körpererweiterung und es seien und konjugierte Elemente aus . Es sei der Zerfällungskörper des gemeinsamen Minimalpolynoms dieser beiden Elemente.

Dann gibt es einen -Algebraautomorphismus von mit .

Beweis  

Zunächst gibt es wegen

einen -Algebrahomomorphismus von nach . Der Körper ist über diesen beiden Unterkörpern der Zerfällungskörper von . Daher gibt es nach Satz 11.5 einen -Algebraautomorphismus von nach , der fortsetzt.




Das Lemma von Dedekind

Die Menge der Charaktere auf einem Monoid in einen Körper , also , ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoids von nach . Da Charaktere insbesondere Abbildungen von nach sind, kann man von Linearkombinationen von Charakteren sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.



Satz  

Es sei ein Monoid, ein Körper und seien Charaktere.

Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ).

Beweis  

Es sei

wobei die verschiedene Charaktere seien und alle von verschieden seien. Darüber hinaus sei minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest . Wegen gibt es auch ein mit

. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von nach )

Für ein beliebiges ist nämlich

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom -fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen und der Wahl von ) lineare Relation zwischen im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von .




Galoiserweiterungen

Aus dem Lemma von Dedekind ergibt sich eine direkte Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer endlichen Körpererweiterung.



Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

Beweis  

Nach Satz 8.16 ist endlich. Wir setzen und und müssen zeigen. Nehmen wir also an. Es sei eine -Basis von und die Elemente in der Galoisgruppe seien . Wir betrachten die Matrix

Ihr Rang ist maximal gleich , da sie nur Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den Spalten, sagen wir

wobei nicht alle gleich sind. Wir betrachten nun

wobei wir die Automorphismen als Charaktere von nach auffassen. Für ein beliebiges Element schreiben wir . Mit diesen Bezeichnungen gilt

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen sind für jedes . Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Satz 13.4 nicht sein kann.


Eine wichtige Frage ist, wann in der vorstehenden Abschätzung Gleichheit vorliegt. Dies machen wir zur Grundlage der folgenden Definition. Wir werden später noch viele äquivalente Eigenschaften kennenlernen.


Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

gilt.



Lemma

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung.

Dann ist eine Galoiserweiterung.

Beweis

Siehe Aufgabe 13.6.


Die vorstehende Aussage ist ein Spezialfall der Aussage, dass graduierte Körpererweiterungen unter der Voraussetzung, dass hinreichend viele Einheitswurzeln im Grundkörper vorhanden sind, Galois-Erweiterungen sind. Dazu brauchen wir ein vorbereitendes Lemma.



Lemma  

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind und isomorphe[1] Gruppen.

Beweis  

Nach Lemma 9.10  (2) und Korollar Anhang 4.2 kann man annehmen, dass eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

ist durch eindeutig festgelegt, und wegen

ist eine -te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder -ten Einheitswurzel durch die Zuordnung nach Lemma 4.4 und Satz 5.10 einen Gruppenhomomorphismus von nach definieren. Die Menge der -ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung . Also gibt es solche Homomorphismen. Wenn eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch festgelegte Homomorphismus die Ordnung und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also .




Satz  

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Der Körper enthalte eine -te primitive Einheitswurzel, wobei der Exponent von sei.

Dann ist eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe .

Beweis  

Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mit Lemma 13.8 und Lemma 9.7  (2) sichern

Nach Lemma 9.11 ist

Also ist

und somit haben wir nach Satz 13.5 hier Gleichheit, also liegt eine Galoiserweiterung vor. Damit ist auch der nach Lemma 9.11 injektive Gruppenhomomorphismus

bijektiv.



Beispiel  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei derart, dass das Polynom irreduzibel sei. Dann ist

eine nach Beispiel 9.4 -graduierte Körpererweiterung, und nach Satz 13.9 handelt es sich um eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Dabei ist auch der Zerfällungskörper von . Wenn die Restklasse von bezeichnet, so sind die verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich

die allesamt homogene Elemente der Stufe sind. Ein Charakter bzw. der zugehörige Automorphismus operiert gemäß Lemma 13.1 auf dieser Nullstellenmenge (die nichtkanonisch isomorph zu ist) durch

Die graduierende Gruppe , sein Charakterdual , die Gruppe der -ten Einheitswurzeln , die Galoisgruppe und die Nullstellenmenge bestehen aus Elementen, die Permutationsgruppe von besteht somit aus Elementen. Zu je zwei Nullstellen und gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation in überführt, nämlich derjenige Charakter mit .

Bei und sind die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.

Bei und ist eine -graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind und . Die Irreduzibilität von ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu gehört. Jeder Charakter ist durch bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit . Bei ist das die Permutation , bei ist das die Permutation und bei ist das die Permutation . Unter den Permutationen rühren also nur von einem Charakter her, eine Permutation wie , , und z.B. nicht.




Fußnoten
  1. Diese Isomorphie ist nicht kanonisch, es gibt keine natürliche Beziehung zwischen den Elementen aus und den Charaktern auf .


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