Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 14

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 14.3  (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.


Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 14.3 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung und zu zwei -Algebrahomomorphismen

ist .


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt, so dass eine Körpererweiterung vom Grad ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 14.3, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von in an.


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl und es sei der Zerfällungskörper von . Welchen Grad besitzt (über )? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

Tipp: Man betrachte eine Einbettung und den Durchschnitt .

Aufgabe

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper, der über nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper gibt, der zu isomorph ist.


Aufgabe

Finde für den Körper aus Beispiel 14.9 eine endliche Körpererweiterung mit und so, dass über normal ist. Beschreibe einen -Automorphismus mit .


Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung aus Beispiel *****. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 14.3, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler von enthalte eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Bestimme für die Körpererweiterung , welche Elemente aus untereinander konjugiert sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für eine normale Körpererweiterung vom Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und seien Zwischenkörper, die beide über normal seien. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler von enthalte eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass eine normale Körpererweiterung ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine endliche normale und separable Körpererweiterung. Es sei mit , wobei sei. Zeige, dass verschiedene -te Einheitswurzeln besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Körpererweiterung , welche Elemente aus untereinander konjugiert sind.



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