Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für
\mathl{n \leq 12}{,} welche der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $K_n$ zueinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für
\mathl{n \leq 12}{,} wie viele Unterkörper der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_n$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} zu zwei \definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{} \mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {} vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {} zwei \definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} \mathkor {} {d_1} {bzw.} {d_2} {.} Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem Oberkörper gebildete \definitionsverweis {Kompositum}{}{.} Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} K_1K_2 }
{ \leq }{d_1d_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {} zwei endliche \definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{} von $K$.

a) Zeige, dass die $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} kein Körper sein muss.

b) Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete \definitionsverweis {Kompositum}{}{.} Zeige, dass es einen surjektiven $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} von $A$ nach
\mathl{K_1K_2}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{{\mathbb F}_{q_1}}{} der Körper mit
\mathl{q_1=p^{e_1}}{} und
\mathl{{\mathbb F}_{q_2}}{} der Körper mit
\mathl{q_2=p^{e_2}}{} Elementen. Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{} \zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {} von \mathkor {} {{\mathbb F}_{q_1}} {und} {{\mathbb F}_{q_2}} {} gleich
\mathl{{\mathbb F}_{q}}{} mit
\mathl{q=p^e}{} und
\mathl{e= {\operatorname{KgV} \, \left( e_1,e_2 , \right) }}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ \geq} { { \frac{ \sqrt{n} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K_{ n }}{} der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{,}
\mathl{n \geq 3}{.} Zeige, dass es einen Zwischenkörper
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq K_{ n }} {}
{} {} {} {,} gibt, der eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{K_{ n_1 }}{} und
\mathl{K_{ n_2 }}{} zwei \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über $\Q$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{} \zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {} von \mathkor {} {K_{ n_1 }} {und} {K_{ n_2 }} {} gleich
\mathl{K_{ n }}{} ist, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ {\operatorname{KgV} \, \left( n_1 , n_2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {m} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} über dem $m$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_{ m }$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} die \definitionsverweis {Adjunktion}{}{} einer $n$-ten \definitionsverweis {primitiven Einheitswurzel}{}{.} Zeige mit Hilfe von Satz 19.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper \zusatzklammer {über $\Q$} {} {,} dass
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist, deren Galoisgruppe \definitionsverweis {abelsch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {} zwei endliche \definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{} von $K$, deren \definitionsverweis {Grade}{}{} teilerfremd seien. Zeige, dass die $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathl{F_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_n }
{ \leq }{ F_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}