Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für $n\le 12$, welche der $n$-ten Einheitswurzeln in $K_n$ zueinander konjugiert sind.

Aufgabe

Bestimme für $n\le 12$, wie viele Unterkörper der $n$-te Kreisteilungskörper $K_n$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum $K_1{K}_2$ zu zwei Körpererweiterungen $K\subseteq K_1$ und $K\subseteq K_2$ vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

Aufgabe

Es seien $K\subseteq K_1$ und $K\subseteq K_2$ zwei Körpererweiterungen vom Grad $d_1$ bzw. $d_2$. Es sei $K_1{K}_2$ das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung  ${\mathrm{grad}}_K{K}_1{K}_2\le d_1{d}_2$  gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $K\subseteq K_1\cong K[X]/F(X)$ und $K\subseteq K_2\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von $K$.

a) Zeige, dass die $K$-Algebra $A=K[X,Y]/(F,G)$ kein Körper sein muss.

b) Es sei $K_1{K}_2$ das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven $K$-Algebrahomomorphismus von $A$ nach $K_1{K}_2$ gibt.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei ${𝔽}_{q_1}$ der Körper mit $q_1=p^{e_1}$ und ${𝔽}_{q_2}$ der Körper mit $q_2=p^{e_2}$ Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${𝔽}_{q_1}$ und ${𝔽}_{q_2}$ gleich ${𝔽}_q$ mit $q=p^e$ und $e=\mathrm{KgV}(e_1,e_2,)$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $\phi \left(n\right)$ die eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

$\phi \left(n\right)\ge \frac{\sqrt{n}}{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K_n$ der $n$-te Kreisteilungskörper, $n\ge 3$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper $L$, $\mathbb{Q}\subseteq L\subseteq K_n$, gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $K_{n_1}$ und $K_{n_2}$ zwei Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von $K_{n_1}$ und $K_{n_2}$ gleich $K_n$ ist, wobei  $n=\mathrm{KgV}(n_1,n_2)$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $m$ und $n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das $n$-te Kreisteilungspolynom über dem $m$-ten Kreisteilungskörper $K_m$ irreduzibel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq K(\zeta )$ die Adjunktion einer $n$-ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mithilfe von Satz 19.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über $\mathbb{Q}$), dass $K\subseteq K(\zeta )$ eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $K\subseteq K_1\cong K[X]/F(X)$ und $K\subseteq K_2\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von $K$, deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die $K$-Algebra $A=K[X,Y]/(F,G)$ ein Körper ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Zu  $n\ge 3$  sei $F_n$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige  $F_n\le F_{n+1}$.