Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für , welche der -ten Einheitswurzeln in zueinander konjugiert sind.


Aufgabe

Bestimme für , wie viele Unterkörper der -te Kreisteilungskörper besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.


Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum zu zwei Körpererweiterungen und vom gewählten Oberkörper abhängen kann.


Aufgabe

Es seien und zwei Körpererweiterungen vom Grad bzw. . Es sei das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von .

a) Zeige, dass die -Algebra kein Körper sein muss.

b) Es sei das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven -Algebrahomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und sei der Körper mit und der Körper mit Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich mit und ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der -te Kreisteilungskörper, . Zeige, dass es einen Zwischenkörper , , gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und zwei Kreisteilungskörper über . Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich ist, wobei ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das -te Kreisteilungspolynom über dem -ten Kreisteilungskörper irreduzibel ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei die Adjunktion einer -ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Satz 19.6 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über ), dass eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von , deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die -Algebra ein Körper ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .


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