Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jede Filtrierung von mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.


Aufgabe

Sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung .


Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.


Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.


Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.


Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass nicht auflösbar ist.


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.


Zu heißt die Untergruppe

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.


Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen , , einfach sind (das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen , , nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.

Aufgabe

Sei eine alternierende Gruppe mit . Zeige, dass nicht kommutativ ist.


Eine Gruppe heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn gilt.


Aufgabe

Sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass perfekt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für die Permutationsgruppen auflösbar sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine zyklische Gruppe. Zeige, dass genau dann einfach ist, wenn endlich und ihre Ordnung eine Primzahl ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.

Hinweis: Aufgabe 20.11 hilft.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe mit Zentrum . Zeige:

  1. ist genau dann abelsch, wenn zyklisch ist.
  2. Der Index von in ist keine Primzahl.
  3. Ist von der Ordnung für zwei Primzahlen und , so ist abelsch oder trivial.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper mit mindestens Elementen. Zeige, dass perfekt ist.

Tipp: Es gibt ein mit .

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass von

erzeugt wird.



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