Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jede Filtrierung von ${}S_{3}$ mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe ${}K(G)$ trivial ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung ${}\varphi (K(G))\subseteq K(H)$.

Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.

Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.

Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ nicht auflösbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen ${}A_{n}$, ${}n\geq 5$, einfach sind (das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen ${}S_{n}$, ${}n\geq 5$, nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.

Aufgabe

Es sei ${}A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit ${}n\geq 4$. Zeige, dass ${}A_{n}$ nicht kommutativ ist.

Eine Gruppe ${}G$ heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn ${}G=K(G)$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ perfekt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\leq 4$ die Permutationsgruppen ${}S_{n}$ auflösbar sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann einfach ist, wenn ${}G$ endlich und ihre Ordnung eine Primzahl ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation ${}\sigma \in S_{n}$, ${}n\geq 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.

Hinweis: Aufgabe 20.11 hilft.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe mit Zentrum ${}Z(G)$. Zeige:

1. ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}G/Z(G)$ zyklisch ist.
2. Der Index von ${}Z(G)$ in ${}G$ ist keine Primzahl.
3. Ist ${}G$ von der Ordnung ${}pq$ für zwei Primzahlen ${}p$ und ${}q$, so ist ${}G$ abelsch oder ${}Z(G)$ trivial.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit mindestens ${}4$ Elementen. Zeige, dass ${}\operatorname {SL} _{2}(K)$ perfekt ist.

Tipp: Es gibt ein ${}x\in K$ mit ${}x^{2}-1\neq 0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass ${}\operatorname {SL} _{2}(K)$ von

$\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\,\vert \,b\in K\}\cup \{{\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}\,\vert \,c\in K\}$

erzeugt wird.