Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 18

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Aufgabe

Es seien normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ist mit . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .

Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.

Aufgabe *

Schreibe den -ten Kreisteilungskörper als quadratische Körpererweiterung von .


Aufgabe

Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome für .


Über einem beliebigen Körper werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.


Es sei ein Körper und . Der -te Kreisteilungskörper über ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .


Aufgabe

Sei eine Primzahl und , , eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in irreduzibel sind.

a) .

b) .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die eulersche Funktion für natürliche Zahlen die Eigenschaft

erfüllt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom über allen endlichen Primkörpern reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass für bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl, die wir als schreiben mit und teilerfremd. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist (mit ), wobei die minimale echte Potenz von mit der Eigenschaft ist, dass ein Vielfaches von ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches gibt.


Die nächste Aufgabe ist eine Kollektivaufgabe, die auf Wikiversity bearbeitet werden soll.

Aufgabe (8 Punkte)

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen und für angibt, welcher endliche Körper der -te Kreisteilungskörper über ist.

(Man trage die Exponenten ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 1 2 1 4
3 1
5 1
7 1
11 1
13 1
17 1
19 1
23 1
29 1
31 1
37 1


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