Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {K \subseteq L} {und} {L \subseteq M} {} \definitionsverweis {auflösbare Körpererweiterungen}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{K \subseteq M}{} auflösbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {auflösbare Körpererweiterung}{}{.} Es sei
\mathl{K \subseteq K'}{} eine weitere Körpererweiterung und es sei
\mathl{L'=LK'}{} das \definitionsverweis {Kompositum}{}{} von \mathkor {} {L} {und} {K'} {} \zusatzklammer {das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei} {} {.} Zeige, dass auch
\mathl{K' \subseteq L'}{} auflösbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{P,F \in K[X]}{} nichtkonstante Polynome. Wir setzen
\mathl{Q=P(F)}{} \zusatzklammer {in $P$ wird also das Polynom $F$ eingesetzt} {} {.} Zeige, dass man den \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $P$ in den Zerfällungskörper von $Q$ einbetten kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {auflösbares Polynom}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{P(X^n)}{} auflösbar ist.

}
{} {}

Nach Aufgabe 5.4 ist das Zentrum
\mathl{Z_1=Z=Z(G)}{} einer Gruppe $G$ ein Normalteiler in $G$. Folglich gibt es eine Restklassengruppe
\mathl{G/Z(G)}{,} die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in $G$ wird mit $Z_2$ bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in $G$, so dass man eine Filtration
\mathdisp {0 \subseteq Z_1 \subseteq Z_2 \subseteq Z_3 \subseteq \cdots} { }
von Normalteilern in $G$ erhält. Diese Filtration nennt man \stichwort {Zentralreihe} {.}

Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn ihre Zentralreihe bei $G$ endet, d.h. wenn $G$ mit einer iterierten Zentrumsgruppe $Z_n(G)$ übereinstimmt.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {nilpotente Gruppe}{}{} \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2 }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} mit den zugehörigen \definitionsverweis {Fixkörpern}{}{} \mathkor {} {K_1 = \operatorname{Fix}\, ( H_1 )} {und} {K_2 = \operatorname{Fix}\, ( H_2 )} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} gleich dem Fixkörper von
\mathl{H_1 \cap H_2}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\Q \subseteq L}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ derart, dass
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )}{} trivial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{E \subseteq \R^2}{} ein reguläres $n$-Eck \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 3}{}} {} {} mit den Eckpunkten
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{,} und es sei $V$ der von diesen Eckpunkten \definitionsverweis {erzeugte}{}{} $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}

a) Zeige die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(n) }
{ \leq} { \dim_{ \Q } { \left( V \right) } }
{ \leq} {\varphi(n) + 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \zusatzklammer {Dabei bezeichnet $\varphi(n)$ die \definitionsverweis {eulersche $\varphi$-Funktion}{}{}} {} {.}

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine \mathkor {} {p} {und} {n} {} die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt. \matabellezwoelfzwoelf {\listedreiund { p } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } } {\listesechsmaund { 7 } { 8 } { 9 } { 10 } { 11 } { 12 } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 2 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 1 } { 6 } { 4 } { 10 }{ 2 } } } {\listedreiund { 3 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 1 } { 4 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 5 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 1 } { 2 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 6 } { 1 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 7 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 11 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 1 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 6 } { 1 } { 1 } { 2 } } } {\listedreiund { 13 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 1 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 2 } { 2 } { 3 } { 4 } { 10 } { 1 } } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 17 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 6 } { 1 } { 2 } { 4 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 19 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 1 } { 2 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 23 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 6 } { 4 } { 1 } { 2 } } } {\listedreiund { 29 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 2 } { 2 } } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 6 } { 2 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 31 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 3 } { 1 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 37 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 1 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 1 } { 4 } { 5 } { 1 } } } }

Begründe die folgenden \zusatzklammer {mehr oder weniger sichtbaren} {} {} Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes $n$ sind die Einträge in der $n$-ten Spalte
\mathl{\leq \varphi(n)}{.}

b) Für jedes $p$ kommt in der $p$-ten Zeile die $1$ unendlich oft vor.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} sei. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe ist ein Kollektivaufgabe.


\inputaufgabe
{}
{

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen $p \leq 13$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in
\mathl{\Z/(p)[X]}{} aussieht.

}
{} {}