Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 27/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was ist eigentlich ein „Winkel“?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis dicht liegen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für alle , ob das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen zwischen und mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche der Winkel
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe einen Winkel , , an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und konstruierbare Zahlen. Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von ausgehen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und
eine Drehung um den Drehpunkt um den Winkel , , mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.
a) Zeige, dass ein konstruierbarer Punkt ist.
b) Zeige, dass der Drehwinkel in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Kreisteilungskörper genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Galoisgruppe für den Kreisteilungskörper .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Galoisgruppe für die konstruierbaren Kreisteilungskörper.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl. Wir betrachten die Körperkette der Kreisteilungskörper
Es sei
- Zeige, dass ein Körper ist.
- Zeige, dass die Körpererweiterung algebraisch, aber nicht endlich ist.
- Für welche Primzahlen besteht nur aus konstruierbaren Zahlen?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl einen Kreisteilungskörper mit gibt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke durch zwei Punkte gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges -Eck derart, dass eine der Kanten von wird.
Tipp: Aufgabe 24.6 kann helfen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Welche der Winkel
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?