Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Ringhomomorphismen}
Wir besprechen nun die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Ringen \zusatzklammer {und Körpern} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {Ringe}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
heißt \definitionswort {Ringhomomorphismus}{,} wenn folgende Eigenschaften gelten:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a+b)
}
{ = }{ \varphi(a) + \varphi(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a \cdot b)
}
{ = }{ \varphi(a) \cdot \varphi(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen
\definitionswortenp{Ringisomorphismus}{,} und zwei Ringe heißen
\definitionswortenp{isomorph}{,} wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung
\maabb {} {R} {0
} {}
in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also
\maabb {} {0} {R
} {,}
nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Ringhomomorphismus.
\zwischenueberschrift{Die Charakteristik eines Ringes}
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Z} {R
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein Ringhomomorphismus muss die $1$ auf die $1_R$ abbilden. Deshalb gibt es nach
Lemma 4.4
genau einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {\Z} {(R,+,0)
} {n} {n 1_R
} {.}
Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (mn)1_R
}
{ = }{ (m 1_R) *(n 1_R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
ist, wobei $*$ hier die Multiplikation in $R$ bezeichnet. Dies folgt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
dem allgemeinen Distributivgesetz.
Daraus folgt es für beliebige $m,n$ aufgrund
der Vorzeichenregeln.
Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den \stichwort {kanonischen Ringhomomorphismus} {}
\zusatzklammer {oder den \stichwort {charakteristischen Ringhomomorphismus} {}} {} {}
von $\Z$ nach $R$.
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionswort {Charakteristik}{} eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n \cdot 1_R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
}
Wichtige Ringe wie $\Z,\Q, \R,{\mathbb C}$ besitzen die Charakteristik $0$, die Restklassenringe
\mathl{d}{} besitzen die Charakteristik $d$. Die Charakteristik ist die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
des Elementes $1_R$ in der additiven Gruppe
\mathl{(R,0,+)}{}
\zusatzklammer {allerdings entspricht die Ordnung $\infty$ der Charakteristik $0$} {} {.}
Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen
\zusatzklammer {charakteristischen} {} {}
Ringhomomorphismus.
\zwischenueberschrift{Der Einsetzungshomomorphismus}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei $A$ ein weiterer
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {R[X]} {A
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(X)
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ i
}
{ = }{\varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\maabb {i} {R} {R[X]
} {}
die kanonische Einbettung ist.}
\faktzusatz {Dabei geht das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \sum_{ j = 0 }^{ n } c_{ j } X^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\sum_{j=0}^{n} \varphi(c_j)a^{j}}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Bei einem Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {R[X]} {A
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ i
}
{ = }{\varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
müssen die Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\varphi(c)}{} und $X$ auf $a$ gehen. Daher muss $X^{j}$ auf $a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.
Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den \stichwort {Einsetzungshomomorphismus} {.} Es wird ja für die Variable $X$ das Element $a$ eingesetzt.
\zwischenueberschrift{Algebren}
Ein wichtiges Konzept für das Studium von Körpern und Ringen ist, diese als eine Erweiterung von einfacheren Ringen aufzufassen
\zusatzklammer {Grundring, Grundkörper} {} {}
und dann mit Hilfe des schon verstandenen einfacheren Objektes das erweiterte Objekt zu untersuchen. Man spricht vom relativen Standpunkt. Diese Idee wird durch den Begriff Algebra präzisiert.
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {R} {und} {A} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {} {R} {A } {} ein fixierter \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man $A$ eine \definitionswort {$R$-Algebra}{.}
}
Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring
\mathl{R[X]}{} eine $R$-Algebra, indem man die Elemente aus $R$ als konstante Polynome auffasst. Jeder Ring $A$ ist auf eine eindeutige Weise eine $\Z$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus
\maabbele {} {\Z} {A
} {n} {n_A
} {.}
Bei einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $L$ eine $K$-Algebra. Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe $A$
\zusatzklammer {bei kommutativem Grundring $R$} {} {}
sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus $R$ mit allen Elementen aus $A$ vertauschen.
Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring $R$ ein Körper $K$ ist. Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass $\Q$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
gegeben ist. Dann ist $L$ über die Inklusion direkt eine $\Q$-Algebra.
Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} über einem kommutativen Grundring $R$. Dann nennt man einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {A} {B } {} einen \definitionswortpraemath {R}{ Algebrahomomorphismus }{,} wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen \maabb {} {R} {A } {} und \maabb {} {R} {B } {} verträglich ist.
}
Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein $\Z$-Algebrahomomorphis\-mus, da es zu jedem Ring $A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus \maabb {} {\Z} {A } {} gibt.
Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring
\mathl{R[X]}{} mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere $R$-Algebra $A$ mit einem fixierten Element
\mathl{a \in A}{} vorliegt und dass dann durch
\mathl{X \mapsto a}{} ein $R$-Algebrahomomorphismus
\maabb {} {R[X]} {A
} {}
definiert wird.
\zwischenueberschrift{Ideale unter einem Ringhomomorphismus}
Der Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} und \definitionsverweis {Idealen}{}{} wird durch folgenden Satz hergestellt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \varphi(f) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ \defeq} {\varphi^{-1}(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das bedeutet
\mathkor {} {\varphi(a)=0} {und} {\varphi(b)=0} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a+b)
}
{ =} {\varphi(a) + \varphi(b)
}
{ =} { 0+0
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mathkor {} {a \in I} {und} {r \in R} {}
beliebig. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(ra)
}
{ =} { \varphi(r) \varphi(a)
}
{ =} { \varphi(r) \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das
Kernkriterium
für die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{.}
Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Körper nach Ring nicht null/Injektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $S$ ein vom
\definitionsverweis {Nullring}{}{}
verschiedener
\definitionsverweis {Ring}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {K} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ injektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es genügt nach
Lemma 4.9
zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich $0$ ist. Nach
Satz 6.7
ist der Kern ein Ideal. Da die $1$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geht, ist der Kern nicht ganz $K$. Da es nach
[[Körper/Genau zwei Ideale/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]]
in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.
\zwischenueberschrift{Algebraische Elemente und Minimalpolynom}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann heißt $f$ \definitionswort {algebraisch}{} über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Wenn ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das algebraische Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annulliert
\zusatzklammer {also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {,}
so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.}
Dann heißt das
\definitionsverweis {normierte Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
welches von minimalem
\definitionsverweis {Grad}{}{}
mit dieser Eigenschaft ist, das \definitionswort {Minimalpolynom}{} von $f$.
}
Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.
\inputbeispiel{}
{
Bei einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trivialerweise
\definitionsverweis {algebraisch}{}{,}
und zwar ist jeweils
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X-a
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.}
Weitere Beispiele liefern über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die komplexen Zahlen
\mathl{\sqrt{2}, { \mathrm i}, 3^{1/5}}{,} etc. Annullierende Polynome aus
\mathl{\Q[X]}{} sind dafür
\mathl{X^2-2}{,}
\mathl{X^2+1}{,}
\mathl{X^5-3}{}
\zusatzklammer {es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist} {} {.}
Man beachte, dass beispielsweise
\mathl{X- \sqrt{2}}{} zwar ein annullierendes Polynom für $\sqrt{2}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\Q$ gehören.
}
\inputfaktbeweis
{Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {kanonischen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {,}
das von $P$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten
den kanonischen Einsetzungshomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {.}
Dessen Kern ist nach
Satz 6.7
und nach
Satz 3.15
ein Hauptideal, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen
\zusatzklammer {im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig} {} {.}
Das Minimalpolynom $P$ gehört zu ${\mathfrak a}$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da beide normiert sind.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
heißt \definitionswort {algebraisch}{,} wenn jedes Element
\mathl{f\in L}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
}
\zwischenueberschrift{Erzeugendensysteme}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $A$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und sei
\mathbed {f_i \in A} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_i$ enthält, die von diesen Elementen \stichwort {erzeugte $R$-Algebra} {.} Sie wird mit
\mathl{R[f_i,\, i \in I]}{} bezeichnet.
}
Man kann diese $R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von $A$ charakterisieren, der sowohl $R$ als auch die $f_i$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten $K$-Algebren in einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach
\mathl{K[f]}{,} und diese $K$-Algebra besteht aus allen $K$-Linearkombinationen von Potenzen von $f$. Dies ist das Bild unter dem durch
\mathl{X \mapsto f}{} gegebenen Einsetzungshomomorphismus.
Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von $L$ betrachten, der sowohl $K$ als auch eine Elementfamilie
\mathbed {f_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
enthält. Dieser wird mit
\mathl{K(f_i, i \in I)}{} bezeichnet, und man sagt, dass die $f_i$ ein \stichwort {Körper-Erzeugendensystem} {} von diesem Körper bilden. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f_i, i \in I]
}
{ \subseteq }{ K(f_i, i \in I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f]
}
{ \subseteq }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Der \definitionswort {Primkörper}{} von $K$ ist der kleinste \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $K$.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
heißt \definitionswort {einfach}{,} wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {K (x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {einfache Radikalerweiterung}{,} wenn es ein
\mathl{b \in L}{} gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{K(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mathl{n \in \N}{} mit
\mathl{b^n \in K}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {Radikalerweiterung}{,} wenn es
\definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq} {L_1
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { L_{n-1}
}
{ \subseteq} { L_n
}
{ =} {L
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_i
}
{ \subseteq }{ L_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes $i$ eine
\definitionsverweis {einfache Radikalerweiterung}{}{}
ist.
}
\inputbemerkung
{}
{
Bei einer
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
entstehen die einzelnen einfachen Radikalerweiterungen durch die Hinzunahme von reinen Wurzelausdrücken. Dies gilt aber im Allgemeinen nicht für die Gesamterweiterung. Beispielsweise kann man eine Situation der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{7}]
}
{ \subseteq} { (\Q[\sqrt[3]{7}]) \left[\sqrt[5]{ 2 +9 \sqrt[3]{7} -4 \sqrt[3]{7}^2 } \right]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
haben
\zusatzklammer {alles spiele sich innerhalb von ${\mathbb C}$ ab} {} {.}
In den Einzelschritten kommt eine reine Wurzel aus dem Vorgängerkörper hinzu, insgesamt entstehen dabei aber beliebig verschachtelte Wurzelausdrücke. Radikalerweiterungen sind dafür da, solche verschachtelten Wurzelausdrücke systematisch zu erfassen.
Wenn eine komplexe Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} als Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus $\Q$ auftritt, so ist es eine wichtige Frage, ob man sie innerhalb einer Radikalerweiterung beschreiben kann. Die
Formel von Cardano
besagt insbesondere, dass man die Nullstellen einer kubischen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^3 +px+q
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb einer Radikalerweiterung realisieren kann, und zwar braucht man dazu die dritten Einheitswurzeln, die Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{3 { \left( 4p^3 +27q^2 \right) } }}{} und noch dritte Wurzeln von zuvor erzeugten Ausdrücken. Siehe auch
Aufgabe 2.8.
}