Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {Bidual} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Der \stichwort {Fixraum} {} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F={ \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$.
}{Zwei
\zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{}
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid f(v) = 0 \text{ für alle } f \in F \right\} }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
Orthogonalraum
zu $F$.
}{Der Endomorphismus $\varphi$ heißt \stichwort {diagonalisierbar} {,} wenn $V$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$ besitzt.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
des Dualraums ${ V }^{ * }$, also
\mathdisp {{ ({ V }^{ * }) }^{ * }} { }
das Bidual von $V$.
}{Unter dem
Fixraum
zu $\varphi$ versteht man den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$1$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.}{Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale $K$-Vektor\-räume. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {}
Basen von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
Basen von $W$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {}
durch die Matrix
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {}
und von
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {}
beschreiben.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{$\det M \neq 0$.
}{Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.
}{ $M$ ist invertierbar.
}{ $\operatorname{rang} \, M=n$.
}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann ist
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ B \cap C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Letzteres bedeutet
\mathkor {} {x \not\in B} {oder} {x \not\in C} {.}
Im ersten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in beiden Fällen also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, so bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im ersten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ B \cap C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Ein Apfelverkäufer verkauft
\mathl{2893}{} Äpfel für $3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft $3417$ Äpfel für
\mathl{3693}{} Euro. Welches Angebot ist günstiger?
}
{
Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2893 \cdot 3417
}
{ =} {9885381
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3127 \cdot 3417
}
{ =} {10684959
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3693 \cdot 2893
}
{ =} { 10683849
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Euro bezahlen. Das zweite Angebot ist also günstiger.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d,e
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einträge
\mathl{c_{ij}}{} des Produktes
\mathl{AB}{} die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{ i+d+e+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n a_{ik} b_{kj}
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{i+d} a_{ik} b_{kj} + \sum_{k = i+d + 1}^n a_{ik} b_{kj}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summanden links sind gleich $0$, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ik}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \leq }{i+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \leq }{ i+d+e+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Dann gilt für die Indizes im rechten Summanden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+d+1
}
{ \leq} {k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq} { i +d+1+e
}
{ \leq} {k+e
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{kj}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und auch die rechten Summanden sind $0$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist
}
{
Offensichtlich gehören die Vektoren
\mathl{e_1,e_2}{} zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix}} { }
Es geht um das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4x+y+5w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+7y+5z+3w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - 2x+7y -6 z+2 w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist I+2III gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15 y -12 z+ 9 w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und II+III ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 14 y - z+ 5 w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist -IV+12 V gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 153 y + 51 w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also kann man $w$ frei vorgeben und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 } } w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ z
}
{ =} { 14y +5 w
}
{ =} {- 14 { \frac{ 1 }{ 3 } } w + 5w
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } w
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 7y -6 z +2 w \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( -7 { \frac{ 1 }{ 3 } } w -6 { \frac{ 1 }{ 3 } } w +2 w \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 6 } } w
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Kern ist also
\mathdisp {{ \left\{ w \begin{pmatrix} - { \frac{ 7 }{ 6 } } \\- { \frac{ 1 }{ 3 } }\\ { \frac{ 1 }{ 3 } }\\1 \end{pmatrix} \mid w \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{
Wir nehmen zunächst an, dass $V$ und $W$ isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {} existiert.
Es sei
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} eine Basis von $W$. Aufgrund der Surjektivität von $\varphi$ existieren Elemente
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} in $V$ mit
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{.}
Es sei
\mathl{a_1v_1+\cdots+ a_nv_n = 0}{} eine Darstellung der 0. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} { \varphi(a_1v_1+\cdots+ a_nv_n)
}
{ =} { a_1\varphi(v_1)+\cdots+ a_n\varphi(v_n)
}
{ =} { a_1w_1+\cdots+ a_nw_n
}
}
{}
{}{;}
weil
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu $\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} von $V$ und
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} von $W$ gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{} bzw.
\mathl{\psi(w_i)=v_i}{} gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind $V$ und $W$ isomorph.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweisieben {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -11 & -2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & -11 & -2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 11 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
Die inverse Matrix ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
}
{
Die linearen Standardabbildungen
\maabb {} {K^n} {V
} {} bzw.
\maabb {} {K^m} {W
} {}
zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\
& \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\
\!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\
& \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\
K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,
\!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf
Lemma 9.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi)
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } )
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 13 & 1 & -1 & -8 & 6 \\ 3 & -2 & 8 & 1 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 3 & 5 \\ 6 & -4 & 16 & 2 & 8 \\ 7 & -10 & 11 & 6 & 9 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die vierte Zeile ist das Doppelte der zweiten Zeile, somit ist die Determinante gleich $0$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Berechne für die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {2} {5} {3} }
{\mazeileunddrei {8} {6} {1} }
die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}
}
{
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {2} {5} {3} }
{\mazeileunddrei {8} {6} {1} }
Die Fehlstände sind
\mathdisp {(1,3),\, (1 ,5 ),\, (1 ,8 ),\, ( 2,3 ),\, ( 2,4 ),\, (2 ,5 ),\, (2 ,7 ),\, (2 ,8 ),\, (3 , 8),\, (4 ,5 ),\, ( 4,8 ),\, (5 ,8 ),\, ( 6, 7),\, (6 ,8 ),\, (7 , 8)} { . }
Dies sind $15$ Fehlstände. Die Permutation ist also ungerade.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{i} a_i X^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \sum_{j } b_j X^{j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P+Q
}
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P+Q)(z)
}
{ =} { { \left( \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i \right) } (z)
}
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } z^i
}
{ =} { \sum_i a_i z^i + \sum_i b_i z^i
}
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) + { \left( \sum_i b_i X^i \right) } (z)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { P(z) +Q(z)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P \cdot Q
}
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P \cdot Q)(z)
}
{ =} { { \left( \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k \right) } (z)
}
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } z^k
}
{ =} { \sum_{i,j} a_i \cdot b_j z^{i+j}
}
{ =} { { \left( \sum_i a_i z^i \right) } \cdot { \left( \sum_j b_j z^j \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) \cdot { \left( \sum_j b_j X^j \right) } (z)
}
{ =} { P(z) \cdot Q(z)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Für jedes konstante Polynom $a_0$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 (z)
}
{ = }{a_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da nicht eingesetzt werden kann.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1085
}
{ =} { 1 \cdot 806 + 279
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806
}
{ =} { 2 \cdot 279 + 248
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{279
}
{ =} { 1 \cdot 248 +31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{248
}
{ =} { 8 \cdot 31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der größte gemeinsame Teiler ist also $31$. Aus den Rechnungen erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806
}
{ =} { 2 \cdot 279 + 248
}
{ =} { 2 ( 248 +31) +248
}
{ =} { 3 \cdot 248 + 2 \cdot 31
}
{ =} { 3 \cdot 8 \cdot 31 + 2 \cdot 31
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 26 \cdot 31
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1085
}
{ =} { 806 +279
}
{ =} { 26 \cdot 31 + 9 \cdot 31
}
{ =} { 35 \cdot 31
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_1 v
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \lambda_2 v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \lambda_1-\lambda_2) v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{\lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} T & T-1 \\ T+1 & { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{\R(T)}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
} {Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-T & -(T-1) \\ -(T+1) & X- { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ =} { (X-T) { \left( X- { \frac{ 1 }{ T } } \right) } - (T+1)(T-1)
}
{ =} { X^2 - { \left( T + { \frac{ 1 }{ T } } \right) } X +1 -T^2 +1
}
{ =} { X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2
}
}
{}
{}{.}
} {Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -{ \frac{ T^4+2T^2+1 }{ 4T^2 } } -T^2 +2
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 +{ \frac{ -T^4-2T^2-1 - 4T^4 +8T^2 }{ 4T^2 } }
}
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 + { \frac{ - 5 T^4+6 T^2- 1 }{ 4T^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \frac{ 5 T^4-6 T^2+ 1 }{ 4T^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für das Polynom
\mathl{A := 5 T^4-6 T^2+ 1}{} gilt:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A
}
{ =} { 5 T^4-6 T^2+ 1
}
{ =} { 5\left( T^4-{ \frac{ 6 }{ 5 } } T^2+ { \frac{ 1 }{ 5 } } \right)
}
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 9 }{ 25 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right)
}
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 4 }{ 25 } } \right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right)^2 \right)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen
\mathl{-1, 1, -{ \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }, { \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }}{} ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von
\mathl{A}{} aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in
\mathl{\R (T)}{} eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
Wir behaupten, dass
\mathl{5 T^4-6 T^2+ 1}{} keine Quadratwurzel in
\mathl{{\mathbb C} (T)}{} (und damit auch in
\mathl{\R (T)}{}) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion
\mathl{P/Q}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { { \frac{ P^2 }{ Q^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben würde, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A Q^2
}
{ =} { P^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von $A Q^2$ eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von $A$ enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von $P$ jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert. }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
}
{
Wenn $M$ eine Diagonalmatrix, so ist $M$ natürlich auch diagonalisierbar. Es sei nun vorausgesetzt, dass $M$ diagonalisierbar ist. Da $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist, ist der konstante Diagonaleintrag $c$ der einzige Eigenwert. Da $M$ diagonalisierbar ist, so ist $M$
nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
die direkte Summe seiner Eigenräume. In diesem Fall gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K^n
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ c } { \left( M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $M$ ist die
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
mit $c$. Dann ist $M$ eine Diagonalmatrix.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Polynom $P \in \R[X]$ an, das für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{X^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass dies für sämtliche Matrizen der Form
\mathbeddisp {\begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {mit}
{r \in \R} {und}
{r \neq 0} {} {} {}
das Minimalpolynom ist. Eine direkte Rechnung zeigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass $X^2$ diese Matrizen annulliert. Das Minimalpolynom muss also ein Teiler von $X^2$, und die normierten Teiler sind
\mathl{1,X,X^2}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $X$ ausgeschlossen, also ist das Minimalpolynom gleich $X^2$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -7 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$7$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { . }
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere dia\-gonal\-isierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & -7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & -7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung
\zusatzklammer {allerdings bezüglich einer anderen Basis} {} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x+3y-5z+w
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\5 \end{pmatrix}} { }
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\7 \end{pmatrix}} { }
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.
}