Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\3 & 7 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 6 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt\zusatzfussnote {Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 4 } } \\ - 3 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne:
\aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$
}{die zugehörigen Eigenräume;
}{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
}{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
\aufzaehlungdrei{Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus.
}{$0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$.
}{Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi_\varphi$ ist
\mathl{\neq 0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ m
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe Beispiele für
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
$M$ derart, dass $a$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ist mit der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
$n$ und der
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{}
$m$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{}
und betrachte darüber die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ M }$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }( \lambda)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre \definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{} das gleiche \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der
\definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Zu zwei quadratischen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{M,N}{} gilt für die
\definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \chi_{ M } \chi_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Definition ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \circ N \right)
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \right) \det \left( XE_n - N \right)
}
{ =} { \chi_{ M } \cdot \chi_{ N }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + c_2X^2+c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das charakteristische Polynom der mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gestreckten Matrix
\mathl{sM}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Teilmenge von $V$ ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(U)
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } \mid U \text{ ist ein } \varphi-\text{invarianter Untervektorraum} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
dieses Raumes.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 5 \\ 4 & 7 & 1 \\2 & -4 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\-4 & 0 & 6 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne:
\aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$
}{die zugehörigen Eigenräume;
}{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
}{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {algebraischen}{}{}
und
\definitionsverweis {geometrischen}{}{}
Vielfachheiten für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.
}
{} {}
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