Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

über .


Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. Die lineare Abbildung ist ein Isomorphismus.
  2. ist kein Eigenwert von .
  3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ist .


Aufgabe

Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für -Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .


Aufgabe

Es sei der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

Zeige, dass das charakteristische Polynom nicht das Nullpolynom ist, dass aber

für alle ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.


Aufgabe *

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

ist.


Aufgabe *

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen -Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

Nach Definition ist nämlich

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.


Aufgabe *

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .


Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)