Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n \times n$-Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}} { . }

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & d \\0 & 0 & a \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {diagonalisierbare Matrix}{}{} mit dem \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$. Zeige direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die $\operatorname{Spur} { \left( M \right) }$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) } }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ M } \in K[X]}{} mit dem charakteristischen Polynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei \maabbdisp {\psi=\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi} {V \oplus \cdots \oplus V} { V \oplus \cdots \oplus V } {} die $m$-fache \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} von $\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} \zusatzklammer {das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}} {} {} von $\psi$ zum Minimalpolynom \zusatzklammer {zum charakteristischen Polynom} {} {} von $\varphi$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Schreibe die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4X^2-3X+2 & X^3-2X+8 \\ 3X^4-X^3-2X^2+7 & X^4-6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit Einträgen aus
\mathl{\Q[X] \subset \Q(X)}{}} {} {} als
\mathdisp {A_4 X^4 + A_3X^3+A_2X^2+A_1X+A_0} { }
mit Matrizen
\mathl{A_4,A_3,A_2,A_1,A_0 \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{n \in \N}{} und sei $M$ die Menge der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $K$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^{\times}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{} auf dem Einheitskreis liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mathl{F}{} eine komplexe, auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { \sum _{ j = 0}^\infty c_{ j n } z^{ j n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F( \zeta z) }
{ = }{F( z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gilt.

}
{} {}


Eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn sie die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ besitzt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\zeta \in K$ eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} in einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige die \anfuehrung{Schwerpunktformel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{a \in K}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn
\mathl{b_1,b_2 \in K}{} zwei Lösungen der Gleichung
\mathl{X^n=a}{} sind und
\mathl{b_2 \neq 0}{,} so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.} } {Wenn
\mathl{b \in K}{} eine Lösung der Gleichung
\mathl{X^n=a}{} und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mathl{X^n=a}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} zu einer \definitionsverweis {Transposition}{}{.} Zeige, dass $M$ über $\R$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei der Zykel
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1}{} gegeben und sei $M$ die zugehörige $n \times n$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} über einem Körper $K$.

a) Es sei $P \in K[X]$ ein Polynom vom Grad
\mathl{< n}{.} Erstelle eine Formel für
\mathl{(P(M))(e_1)}{.}

b) Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $M$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} $\varphi$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren
\mathl{v_1,v_2,v_3 \in V}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_1) }
{ = }{v_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_2) }
{ = }{v_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_3) }
{ = }{v_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt und dass das Minimalpolynom von $\varphi$ nicht
\mathl{X^3-1}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Von einer \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\pi \in S_n}{} sei die \definitionsverweis {Zyklenzerlegung}{}{} bekannt. Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} und das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} $M_\pi$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $K$ eine \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $3$ Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass $M$ endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine Matrix
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $4$ an.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 4 & 5 \\ 6 & 3 & 8 \\2 & 2 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei
\mathdisp {P= a_0 +a_1X + \cdots + a_m X^m \in K[X]} { }
ein Polynom mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(M) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist und dass die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{-1} }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ a_0 } } { \left( a_1+ a_2 M + \cdots + a_m M^{m-1} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} und \maabbdisp {\psi} {W} {W } {} \definitionsverweis {Endomorphismen}{}{} mit den \definitionsverweis {Minimalpolynomen}{}{} \mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.} Zeige, dass das Minimalpolynom von \maabbdisp {\varphi \oplus \psi} { V \oplus W} { V \oplus W } {} gleich dem \definitionsverweis {normierten}{}{} \definitionsverweis {Erzeuger}{}{} des \definitionsverweis {Ideals}{}{}
\mathl{(P) \cap (Q)}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}


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