Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 24

„Das Lernen und der Orgasmus finden letztlich im Kopf statt“

Der Satz von Cayley-Hamilton

Einer der Höhepunkte dieses Kurses ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann, siehe die 20. Vorlesung. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable $X$ durch die Matrix $M$ und muss die Potenzen $M^{i}$ als das $i$ -te Matrixprodukt von $M$ mit sich selbst verstehen und die Addition als die (komponentenweise) Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar $a$ wird dabei als das $a$ -fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom

P = 3 X^{2} - 5 X + 2

und die Matrix

M = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix})

ist also

\begin{matrix} P (M) & = 3 {(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix})}^{2} - 5 (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix}) + 2 \\ = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 16 & 12 \\ 9 & 13 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 40 & 16 \\ 12 & 36 \end{matrix}) . \end{matrix}

Zu einer fixierten Matrix $M \in {Mat}_{n} (K)$ gibt es also eine Einsetzungsabbildung

K [X] ⟶ {Mat}_{n} (K), P ⟼ P (M) .

Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu $a \in K$ - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen

(P + Q) (M) = P (M) + Q (M), (P \cdot Q) (M) = P (M) \circ Q (M) und 1 (M) = E_{n} .

Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Es sei

χ_{M} = X^{n} + c_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + c_{1} X + c_{0}

das charakteristische Polynom zu $M$ .

Dann gilt

$χ_{M} (M) = M^{n} + c_{n - 1} M^{n - 1} + \dots + c_{1} M + c_{0} = 0 .$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Beweis

Wir fassen die Matrix $X E_{n} - M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper $K (X)$ liegen. Die adjungierte Matrix

(X E_{n} - M)^{adj}

liegt ebenfalls in ${Mat}_{n} (K (X))$ . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von $(n - 1) \times (n - 1)$ -Untermatrizen von $X E_{n} - M$ . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der $(n - 1)$ -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

(X E_{n} - M)^{adj} = X^{n - 1} A_{n - 1} + X^{n - 2} A_{n - 2} + \dots + X A_{1} + A_{0}

mit Matrizen

A_{i} \in {Mat}_{n} (K),

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in $X$ und fasst dann die Koeffizienten zu $X^{i}$ zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 gilt

\begin{matrix} χ_{M} E_{n} & = (X E_{n} - M) \circ (X E_{n} - M)^{adj} \\ = (X E_{n} - M) \circ (X^{n - 1} A_{n - 1} + X^{n - 2} A_{n - 2} + \dots + X A_{1} + A_{0}) \\ = X^{n} A_{n - 1} + X^{n - 1} (A_{n - 2} - M \circ A_{n - 1}) + X^{n - 2} (A_{n - 3} - M \circ A_{n - 2}) + \dots + X^{1} (A_{0} - M \circ A_{1}) - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist

χ_{M} E_{n} = X^{n} E_{n} + X^{n - 1} c_{n - 1} E_{n} + X^{n - 2} c_{n - 2} E_{n} + \dots + X^{1} c_{1} E_{n} + c_{0} E_{n} .

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

\begin{matrix} E_{n} & = & A_{n - 1} \\ c_{n - 1} E_{n} & = & A_{n - 2} - M \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 2} E_{n} & = & A_{n - 3} - M \circ A_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1} E_{n} & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{n} & = & - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit $M^{n}, M^{n - 1}, M^{n - 2}, \dots, M^{1}, E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem

\begin{matrix} M^{n} & = & M^{n} \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 1} M^{n - 1} & = & M^{n - 1} \circ A_{n - 2} - M^{n} \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 2} M^{n - 2} & = & M^{n - 2} \circ A_{n - 3} - M^{n - 1} \circ A_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1} M^{1} & = & M A_{0} - M^{2} \circ A_{1} \\ c_{0} E_{n} & = & - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade $χ_{M} (M)$ . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$ , da jeder Teilsummand $M^{i + 1} \circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist $χ_{M} (M) = 0$ .

◻

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

f : V ⟶ V

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

$χ_{f} (f) = 0 .$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 24.1.

◻

Minimalpolynom und charakteristisches Polynom

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

f : V ⟶ V

eine lineare Abbildung.

Dann ist das charakteristische Polynom $χ_{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $μ_{f}$ zu $f$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 24.2 und Korollar 20.11.

◻

Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu $φ : V \to V$ durch die Dimension des Vektorraums $V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

f : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $v \in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $λ$ und es sei $P \in K [X]$ ein Polynom.

Dann ist

$(P (f)) (v) = P (λ) v .$

Insbesondere ist $v$ ein Eigenvektor von $P (f)$ zum Eigenwert $P (λ)$ . Der Vektor $v \neq 0$ gehört genau dann zum Kern von $P (f)$ , wenn $λ$ eine Nullstelle von $P$ ist.

Beweis

Es ist

(f^{k}) (v) = λ^{k} v .

Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung $P \mapsto P (f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

◻

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

f : V ⟶ V

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom $χ_{f}$ und das Minimalpolynom $μ_{f}$ die gleichen Nullstellen.

Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei $λ \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei $v \in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $λ$ , den es nach Satz 23.2 gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

μ_{f} = (X - λ_{1})^{m_{1}} \dots (X - λ_{k})^{m_{k}} Q,

wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist

\begin{matrix} 0 & = μ_{f} (f) \\ = ((X - λ_{1})^{m_{1}} \dots (X - λ_{k})^{m_{k}} Q) (f) \\ = (f - λ_{1} {Id}_{V})^{m_{1}} \dots (f - λ_{k} {Id}_{V})^{m_{k}} Q (f) . \end{matrix}

Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Lemma 24.4 bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(λ - λ_{i})^{m_{i}} v$ bzw. auf $Q (λ) v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf

(λ - λ_{1})^{m_{1}} \dots (λ - λ_{k})^{m_{k}} Q (λ) v

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und $Q (λ) \neq 0$ ist, muss ein $λ_{i} = λ$ sein.

◻

Weitere Beispiele

Wir betrachten lineare Abbildungen

φ : V ⟶ V

mit der Eigenschaft, dass eine Potenz davon die Identität ist, sagen wir

φ^{k} = {Id}_{V},

dass $φ$ also endliche Ordnung besitzt. Typische Beispiele sind Drehungen um einen Winkel der Form $\frac{360}{k}$ oder Permutationsmatrizen. Das Polynom $X^{k} - 1$ annulliert dann diesen Endomorphismus und ist daher ein Vielfaches des Minimalpolynoms.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ$ . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

X^{n} - 1

in $K$ die $n$ -ten Einheitswurzeln in $K$ .

Lemma

Es sei $n \in ℕ_{+}$ .

Die Nullstellen des Polynoms $X^{n} - 1$ über $ℂ$ sind

$e^{2 π i k / n} = \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n}, k = 0, 1, \dots, n - 1.$

In $ℂ [X]$ gilt die Faktorisierung

X^{n} - 1 = (X - 1) (X - e^{2 π i / n}) \dots (X - e^{2 π i (n - 1) / n}) .

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

{(e^{2 π i k / n})}^{n} = e^{2 π i k} = {(e^{2 π i})}^{k} = 1^{k} = 1 .

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n} - 1$ . Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

e^{2 π i k / n} = e^{2 π i ℓ / n}

mit $0 \leq k \leq ℓ \leq n - 1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, $e^{2 π i (ℓ - k) / n} = 1$ folgt, und daraus

ℓ - k = 0 .

Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

◻

Definition

Zu einer Permutation $π$ auf ${1, \dots, n}$ nennt man die $n \times n$ -Matrix

M_{π} = (a_{i j}),

für die

a_{π (j), j} = 1

ist und sonst alle Einträge $0$ sind, eine Permutationsmatrix.

Wir wollen das charakteristische Polynom zu einer Permutationsmatrix bestimmen. Dabei verwenden wir, dass eine Permutation ein Produkt von Zykeln ist. Zu einem Zyklus der Form $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \dots \mapsto k \mapsto 1$ gehört die Permutationsmatrix

(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Jeder Zyklus kann (durch Umnummerierung) auf diese Gestalt gebracht werden.

Lemma

Das charakteristische Polynom einer Permutationsmatrix $M_{ρ}$ zu einem Zyklus $ρ \in S_{n}$ der Ordnung $k$ ist

$χ_{M} = (X - 1)^{n - k} (X^{k} - 1) .$

Beweis

Wir können von einem Zyklus der Form $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \dots \mapsto k \mapsto 1$ ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{ρ}$ ist bezüglich $e_{k + 1}, \dots, e_{n}$ die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten $k$ Standardvektoren die Gestalt

(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Die Determinante zu $X E_{n} - M_{ρ}$ ist $(X - 1)^{n - k}$ multipliziert mit der Determinante von

(\begin{matrix} X & 0 & \dots & 0 & - 1 \\ - 1 & X & 0 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & X & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & - 1 & X \end{matrix}) .

Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert

X^{k} + (- 1)^{k + 1} (- 1) (- 1)^{k - 1} = X^{k} - 1 .

◻

Lemma

Zu einer Permutationsmatrix $M_{ρ}$ über $ℂ$ zu einem Zyklus $ρ \in S_{n}$ mit $ρ : 1 \mapsto 2 \mapsto \dots \mapsto k \mapsto 1$

und einer $k$ -ten Einheitswurzel $ζ$ sind die Vektoren

$v_{ζ} := ζ^{k - 1} e_{1} + ζ^{k - 2} e_{2} + \dots + ζ e_{k - 1} + e_{k}$

Eigenvektoren von $M_{ρ}$ zum Eigenwert $ζ$ .

Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über $ℂ$ diagonalisierbar.

Beweis

Es ist

\begin{matrix} M_{ρ} (v_{ζ}) & = M_{ρ} (ζ^{k - 1} e_{1} + ζ^{k - 2} e_{2} + \dots + ζ e_{k - 1} + e_{k}) \\ = ζ^{k - 1} M_{ρ} (e_{1}) + ζ^{k - 2} M_{ρ} (e_{2}) + \dots + ζ M_{ρ} (e_{k - 1}) + M_{ρ} (e_{k}) \\ = ζ^{k - 1} e_{2} + ζ^{k - 2} e_{3} + \dots + ζ e_{k} + e_{1} \\ = e_{1} + ζ^{k - 1} e_{2} + ζ^{k - 2} e_{3} + \dots + ζ e_{k} \\ = ζ (ζ^{k - 1} e_{1} + ζ^{k - 2} e_{2} + \dots + ζ e_{k - 1} + e_{k}) \\ = ζ v_{ζ} . \end{matrix}

Da es $k$ verschiedene $k$ -te Einheitswurzeln in $ℂ$ gibt, sind diese Vektoren nach Lemma 22.3 linear unabhängig und erzeugen einen $k$ -dimensionalen Untervektorraum $U$ von $K^{n}$ , und zwar gilt

U = ⟨ e_{i}, i = 1, \dots, k ⟩ .

Da die Vektoren $e_{i}$ , $i \geq k + 1$ , Fixvektoren sind, bilden die $v_{ζ}$ zusammen mit den $e_{i}$ , $i \geq k + 1$ , eine Basis aus Eigenvektoren von $M_{ρ}$ und daher ist $M_{ρ}$ diagonalisierbar.

◻

Satz

Eine Permutationsmatrix

ist über $ℂ$ diagonalisierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.26.

◻

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