Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Legen Sie den \definitionsverweis {Verbindungsvektor}{}{} von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Die Zeit ist eine \definitionsverweis {affine Gerade}{}{} über $\R$. Legen Sie den \definitionsverweis {Verbindungsvektor}{}{} vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ = }{P+U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.}
Zeige, dass man für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ = }{Q+U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.}
Zeige, dass $E$ genau dann ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$ ist, wenn $E$ die $0$ enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { 4x-6y+9z
} {.}
Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ Q\in \R^3 \mid \varphi(Q) = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Beschreibung mit Hilfe eines
\definitionsverweis {Aufpunktes}{}{}
und eines
\definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 7x+y-3z \\4x+5y \end{pmatrix}
} {.}
Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ Q\in \R^3 \mid \varphi(Q) = \begin{pmatrix} 4 \\-2 \end{pmatrix} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Beschreibung mit Hilfe eines
\definitionsverweis {Aufpunktes}{}{}
und eines
\definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ fixiert. Es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass die Menge $E$ der Polynome
\mathl{P}{} vom Grad maximal $d$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(a_i)
}
{ =} {b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
von
\mathl{K[X]_{\leq d}}{} bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $E$ sagen, wann ist $E$ leer?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige die folgenden Identitäten in $V$.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P P }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P Q }
}
{ = }{- \overrightarrow{ Q P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q } + \overrightarrow{ Q R }
}
{ = }{ \overrightarrow{ P R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Punkt und
\maabbeledisp {\theta} {V} {E
} {v} {P+v
} {,}
die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir $E$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E'
}
{ =} { { \left\{ (v,1) \in V \times K \mid v \in V \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {E} {E'
} {P} {( \theta^{-1}(P),1 )
} {.}
a) Zeige, dass $E'$ ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{}
von
\mathl{V \times K}{} ist mit dem Translationsraum
\mathl{V \times 0}{.}
b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(Q+v)
}
{ =} { \varphi(Q) + v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Vierpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Vierpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathdisp {0,2 P_1 + 0,4 P_2 -0,3P_3 + 0,7 P_4} { }
im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$. Zeige, dass durch eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathl{\sum_{i \in I} a_iP_i}{}
ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $K$, den wir als einen
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
auffassen. Es sei
\mathl{\sum_{i \in I} a_i v_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} a_i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{.}
Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme
\mathl{\sum_{i \in I} a_i v_i}{} ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Barycentric RGB.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Barycentric RGB.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Geben Sie die \definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{} Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_j
}
{ =} { \sum_{i =1}^n a_{ij} P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i =1}^n a_{ij}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes $j$, eine Familie von
\definitionsverweis {baryzentrischen Kombinationen}{}{}
der $P_i$ gegeben. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k b_j
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man
\mathdisp {\sum_{j =1 }^k b_j Q_j} { }
als baryzentrische Kombination der $P_i$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 6x-5y-3z+8w \\x+5y+4z-2w \end{pmatrix}
} {.}
Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ Q\in \R^4 \mid \varphi(Q) = \begin{pmatrix} -3 \\-7 \end{pmatrix} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Beschreibung mit Hilfe eines
\definitionsverweis {Aufpunktes}{}{}
und eines
\definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { { \left\{ (v,1) \mid v \in V \right\} }
}
{ \subset} { V \times K
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über $V$ ist.
a) Zeige, dass die Punkte
\mathdisp {P_i =(v_i,1),\, i=1 , \ldots , n} { , }
genau dann eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ bilden, wenn die $P_i$
\zusatzklammer {aufgefasst als Vektoren in
\mathl{V \times K}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Vektorraumbasis}{}{}
von
\mathl{V \times K}{} bilden.
b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{}
von $P$ bezüglich
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} gleich den Koordinaten von $P$ bezüglich der Vektorraumbasis
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{E \times F}{} ebenfalls ein affiner Raum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit einer
\definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} von $E$ und einer affinen Basis
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_m}{} von $F$. Zeige, dass
\mathdisp {(P_1,Q_1),\, (P_1,Q_2) , \ldots , (P_1,Q_m),\, (P_2,Q_1),\, (P_3,Q_1) , \ldots , (P_n, Q_1)} { }
eine affine Basis des Produktraumes
\mathl{E \times F}{} ist.
}
{} {}
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