Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von ${}P$ unter der affinen Abbildung ${}\varphi$ , die durch ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und es sei

P_{1},\ldots ,P_{n}

eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$ . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ sind affin unabhängig.
Für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Vektorfamilie
${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

linear unabhängig.
Es gibt ein ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Vektorfamilie
${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

linear unabhängig ist.
Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$ . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

Die Punkte bilden eine affine Basis von ${}E$ .
Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von ${}E$ .
Die Punkte sind maximal affin unabhängig.

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$ . Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von ${}E$ bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von ${}E$ bilden.

Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von ${}P$ unter der affinen Abbildung ${}\varphi$ , die durch ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.

Aufgabe

Beschreibe die affine Ebene

{}E={\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\7\\-6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\5\\1\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,

als Urbild über ${}1$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Aufgabe *

Beschreibe die affine Gerade

{}G={\left\{{\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,

als Urbild über ${}(1,0)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ .

Aufgabe

Bestimme die Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ , die eine affin-lineare Abbildung

P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

definieren.

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$ . Zeige, dass die Projektionen

E\times F\longrightarrow E

und

E\times F\longrightarrow F

affine Abbildungen sind.

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$ . Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$ . Es sei

{}F={\left\{\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1\right\}}\subset K^{n}\,.

Zeige, dass durch die Zuordnung

\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}

eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von ${}F$ nach ${}E$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon E\longrightarrow F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$ . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum ${}H\subseteq E$ das Bild ${}\varphi (H)$ ein affiner Unterraum von ${}F$ ist.

Aufgabe

Es sei

\psi \colon E\longrightarrow E

eine affine Abbildung auf einem affinen Raum ${}E$ . Zeige, dass der lineare Anteil ${}\psi _{0}$ genau dann die Identität ist, wenn ${}\psi$ eine Translation ist.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ . Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung

\psi \colon E\longrightarrow E

ihren linearen Anteil ${}\psi _{0}$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.

${}{\left(\operatorname {Id} _{E}\right)}_{0}=\operatorname {Id} _{V}\,,$
${}(\psi \circ \varphi )_{0}=\psi _{0}\circ \varphi _{0}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über dem Körper ${}K$ , es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von ${}E$ und seien ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte. Es sei

\psi \colon E\longrightarrow F

die zugehörige affin-lineare Abbildung mit

{}\psi (P_{i})=Q_{i}\,.

Zeige die folgenden Aussagen.

a) ${}\psi$ ist genau dann bijektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ eine affine Basis von ${}F$ ist.

b) ${}\psi$ ist genau dann injektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ affin unabhängig ist.

c) ${}\psi$ ist genau dann surjektiv, wenn ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ ein affines Erzeugendensystem von ${}F$ ist.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon E\longrightarrow F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$ . Zeige, dass die Urbilder ${}\varphi ^{-1}(Q)$ zu allen ${}Q\in F$ zueinander parallel sind.

Aufgabe

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

\varphi \colon E\longrightarrow F

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über ${}K$ . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum ${}G\subseteq F$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(G)$ ein affiner Unterraum von ${}E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Ebene

{}E={\left\{{\begin{pmatrix}5\\6\\-2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,

als Urbild über ${}1$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum der Dimension ${}n$ und

\psi \colon E\longrightarrow E

eine affine Abbildung. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n+1}\in E$ affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von ${}\psi$ seien. Zeige, dass ${}\psi$ die Identität ist.