Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 1

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„Wenn der Wind der Veränderung weht, bauen die einen Mauern und die anderen Windmühlen“
Chinesische Weisheit



Mengen

Die Mathematik im wissenschaftlichen Sinne wird in der Sprache der Mengen formuliert.

Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.
David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.


Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Menge wird durch

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten.

Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

bezeichnet.

Eine Menge heißt Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element aus auch zu gehört. Man schreibt dafür

(manche schreiben dafür ). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion vorliegt. Im Nachweis, dass ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element ebenfalls die Beziehung gilt.[1] Dabei darf man lediglich die Eigenschaft verwenden.

Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige Gleichheitsprinzip für Mengen, dass

gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man (in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen) die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier spiegelt sich das aussagenlogische Prinzip wieder, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird.



Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Bei endlichen Mengen ist dies unproblematisch, bei unendlichen Mengen muss man ein „Bildungsgesetz“ für die Elemente angeben.

Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen

Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wichtig ist, dass mit nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.

Wir besprechen Mengenbeschreibung durch Eigenschaften. Es sei eine Menge gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften (Prädikate) erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft gehört innerhalb von die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus , die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als

Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage eine wohldefinierte Bedeutung hat. Dieser Konstruktion entspricht in der Alltagssprache eine Formulierung mit einem Relativsatz, im Sinne von diejenigen Objekte, auf die die Eigenschaft zutrifft. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man einführen

Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa

Die Menge ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja

Das folgende Beispiel einer Menge ist typisch für Mengen, die im Rahmen dieses Kurses vorkommen.


Beispiel  

Wir betrachten die Menge

Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des , die alle Punkte mit den Koordinaten enthält, die die Bedingung

erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte und dazu, der Punkt dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt testen soll, ob er zu gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass mit der Menge

übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als Linearkombination von den zwei Punkten und mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht.

Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir und zeigen. Sei hierzu . Dann ist

wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung

ist. Mit und sieht man, dass ist. Sei umgekehrt , d.h. es gibt eine Darstellung

mit gewissen reellen Zahlen . Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu gehört, müssen wir zeigen, dass er die definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen

der Fall.




Mengenoperationen

So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen.


    • Vereinigung
    • Durchschnitt
    • Differenzmenge

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das Komplement einer Teilmenge , das durch

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also gilt, so nennen wir sie disjunkt.


Beispiel  

Wir betrachten die beiden Mengen

(aus Beispiel 1.1) und

und interessieren uns für den Durchschnitt

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie und ), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit reellen Zahlen multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise

Daher ist

da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach auflösen und erhält

und für muss dann

sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist

Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge .




Konstruktion von Mengen

Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen.[2] Wir definieren:[3]


Definition  

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge[4] der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt . Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponente ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponente ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind.

Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein, beispielsweise ist die reelle Ebene. In diesem Fall ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge Elemente[5] und in der zweiten Menge Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden.


Beispiel  

Es sei die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und die Menge aller Nachnamen. Dann ist

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise , und . Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.



Beispiel  

Chess board blank.svg

Ein Schachbrett (genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann) ist die Produktmenge . Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise . Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien.


Wenn zwei geometrische Punktmengen und gegeben sind, beispielsweise als Teilmengen einer Ebene , so kann man die Produktmenge als Teilmenge von auffassen. Dadurch entsteht ein neues geometrisches Gebilde, das man manchmal auch in einer kleineren Dimension realisieren kann.

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke.

Beispiel  

Es sei ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden , so dass für die Produktmenge die Beziehung

gilt. Die Produktmenge stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge ein Zylindermantel.


Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge.


Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.

Es ist also

Wenn die Menge der Kursteilnehmer ist, so kann man sich jede Teilmenge als eine kursinterne Party vorstellen, zu der eine gewisse Auswahl an Leuten hingeht (es werden also die Parties mit den anwesenden Leuten identifiziert). Die Potenzmenge ist dann die Menge aller möglichen Parties. Wenn eine Menge Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge Elemente.



Tupel, Vektoren, Matrizen

Wichtige Produktmengen sind beispielsweise und . Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge und einem die -fache Produktmenge von mit sich selbst als

Die Elemente darin haben die Gestalt

wobei alle aus sind. Eine solche geordnete endliche Folge von Elementen nennt man auch ein -Tupel über . Bei spricht man von einem Paar, bei von einem Tripel. Zu

nennt man die -te Komponente oder den -ten Eintrag des Tupel. Das tiefgestellte heißt in diesem Zusammenhang der Index des Tupels und die Indexmenge des Tupels.

Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen sogenannte -Tupel. Bei einem -Tupel wird jedem ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als , , geschrieben. Wenn sämtliche aus einer gemeinsamen Menge stammen, spricht man auch von einem -Tupel aus . Bei spricht man von Folgen in .

Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form ersetzen (diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen), doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen interessiert, so ist es natürlich, die von ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt mit einer neuen Nummerierung zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die (allein schon mnemotechnisch) einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln.

Spezieller nennt man ein -Tupel über einer Menge der Form

ein Zeilentupel (der Länge ) und eines der Form

ein Spaltentupel. Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren (beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix (s.u.) angewendet werden soll), so ist der Unterschied bedeutsam.

Wenn und zwei Mengen sind und ihre Produktmenge, so kann man ein -Tupel in als eine „Tabelle“ auffassen, bei der jedem Paar ein Element zugeordnet wird. Insbesondere bei und nennt man ein -Tupel auch eine Matrix und schreibt sie als

Das Zeilentupel

heißt dann die -te Zeile der Matrix und entsprechend

die -te Spalte der Matrix.



Mengenfamilien

Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie.


Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

Die Menge heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind.


Definition  

Es sei , , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge . Dann heißt

der Durchschnitt der Mengen und

die Vereinigung der Mengen.

Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird.


Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der .

Sobald eine der beteiligten Mengen leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die -te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index dann ein Element wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des Auswahlaxioms.


Beispiel  

Zu sei

die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von . Es gelten die Inklusionen

Der Durchschnitt

ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.



Beispiel  

Zu sei

die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von . Es gelten die Inklusionen

Der Durchschnitt

ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die ist ein solches Vielfaches).



Beispiel  

Es sei eine reelle Zahl[6] und es sei diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten Nachkommaziffern von im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

Dies sind Intervalle der Länge und es ist

Die Familie , , ist also eine Intervallschachtelung für .




Fußnoten
  1. In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage .
  2. Darunter fallen auch der Schnitt und die Vereinigung, doch bleiben diese innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge, während es hier um Konstruktionen geht, die darüber hinaus gehen.
  3. Definitionen werden in der Mathematik zumeist als solche deutlich herausgestellt und bekommen eine Nummer, damit man auf sie einfach Bezug nehmen kann. Es wird eine Situation beschrieben, bei der die verwendeten Begriffe schon zuvor definiert worden sein mussten, und in dieser Situation wird einem neuen Konzept ein Name (eine Bezeichnung) gegeben. Dieser Name wird kursiv gesetzt. Man beachte, dass das Konzept auch ohne den neuen Namen formulierbar ist, der neue Name ist nur eine Abkürzung für das Konzept. Sehr häufig hängen die Begriffe von Eingaben ab, wie den beiden Mengen in dieser Definition. Bei der Namensgebung herrscht eine gewisse Willkür, so dass die Bedeutung der Bezeichnung im mathematischen Kontext sich allein aus der expliziten Definition, aber nicht aus der alltäglichen Wortbedeutung erschließen lässt.
  4. Man spricht auch vom kartesischen Produkt der beiden Mengen.
  5. Dass es in einer Menge Elemente gibt, bedeutet, dass man die Elemente der Menge mit den natürlichen Zahlen von bis durchnummerieren kann. Anders formuliert, dass es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge und der gegebenen Menge gibt.
  6. Die reellen Zahlen werden in der Analysis axiomatisch eingeführt; Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.


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