Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\3 & 7 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {,} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 6 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda) }
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt\zusatzfussnote {Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss} {.} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die $\operatorname{Spur} { \left( M \right) }$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zu einer Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { . }
Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zu einer Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}} { . }
Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ X^2-4X+7 }{ X-1 } } & { \frac{ 6X-5 }{ X^2-5 } } \\ { \frac{ 4X^2+3X-2 }{ 6X^2-3X } } & { \frac{ X^2+8X+9 }{ X^2-3X+5 } } \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} $\Q(X)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 4 } } \\ - 3 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {v} {Mv } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {,} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $M$. }{Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus. }{Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+2X^2-2} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^3 } } \\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^2 } }\\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda) } }\\1 \end{pmatrix}} { }
ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ ist.

}
{} {}

Zur Lösung der folgenden Aufgabe sind neben den vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 10.19 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\R_{\geq 0}^4} { \R_{\geq 0}^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) } }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der \definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{} und betrachte darüber die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }( \lambda) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre \definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{} das gleiche \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

\anfuehrung{Zu zwei quadratischen $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{M,N}{} gilt für die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N } }
{ =} { \chi_{ M } \chi_{ N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Definition ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N } }
{ =} { \det \left( XE_n - M \circ N \right) }
{ =} { \det \left( XE_n - M \right) \det \left( XE_n - N \right) }
{ =} { \chi_{ M } \cdot \chi_{ N } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} mit dem \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + c_2X^2+c_1X+c_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme das charakteristische Polynom der mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gestreckten Matrix
\mathl{sM}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \leq }{ m }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man gebe Beispiele für $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} $M$ derart, dass $a$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $M$ ist mit der \definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{} $n$ und der \definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{} $m$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi_{ M } }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem charakteristischen Polynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \in }{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: \aufzaehlungdrei{Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus. }{$0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$. }{Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi_\varphi$ ist
\mathl{\neq 0}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $\varphi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der \definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{} \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1,2,3,4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} }
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfalle in verschiedene \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften. \aufzaehlungfuenf{Der \definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{
\mathl{V}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} sind $\varphi$-invariant. }{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der \definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der \definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der kleinste $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{} von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} von $V$. Zeige, dass zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Raum $U$ ebenfalls
\mathl{P(\varphi)}{-}invariant ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, bezüglich der die Matrix zur \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} für jedes $i$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Teilmenge von $V$ ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es genau dann einen \definitionsverweis {invarianten Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Dimension $k$ gibt, wenn es eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ gibt, bezüglich der die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} von $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1k} & a_{1k+1} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & \ldots & a_{kk} & a_{k k+1} & \ldots & a_{kn} \\ 0 & \ldots & 0 & a_{k+1 k+1} & \ldots & a_{k+1 n} \\

\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots &  \vdots  & \vdots\\

0 & \ldots & 0 & a_{n k+1} & \ldots & a_{n n} \end{pmatrix}} { }
besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es genau dann eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U \oplus W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in \definitionsverweis {invariante Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U ,W }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Dimension $k$ bzw. $n-k$ gibt, wenn es eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ gibt, bezüglich der die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} von $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1k} & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\

a_{k1}  & \ldots &  a_{kk} &  0 & \ldots & 0 \\

0 & \ldots & 0 & a_{k+1 k+1} & \ldots & a_{k+1 n} \\

\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots &  \vdots  & \vdots\\

0 & \ldots & 0 & a_{n k+1} & \ldots & a_{n n} \end{pmatrix}} { }
besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R(U) }
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } \mid U \text{ ist ein } \varphi-\text{invarianter Untervektorraum} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} dieses Raumes.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 5 \\ 4 & 7 & 1 \\2 & -4 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\-4 & 0 & 6 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {algebraischen}{}{} und \definitionsverweis {geometrischen}{}{} Vielfachheiten für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.

}
{} {}