Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 23

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„Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbst verschuldeten Unmündigkeit. Unmündigkeit ist das Unvermögen, sich seines Verstandes ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Selbstverschuldet ist diese Unmündigkeit, wenn die Ursache derselben nicht am Mangel des Verstandes, sondern der Entschließung und des Mutes liegt, sich seiner ohne Leitung eines anderen zu bedienen. ‚Sapere aude! Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!‘ ist also der Wahlspruch der Aufklärung.“
Immanuel Kant



Das charakteristische Polynom

Wir möchten zu einem Endomorphismus die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.


Definition  

Zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom

das charakteristische Polynom[1] von .

Für

bedeutet dies

In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring . Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen auffassen können,[2] ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in , da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur multipliziert und addiert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist und der Leitkoeffizient ist , d.h. die Gestalt ist

Es gilt die wichtige Beziehung

für jedes , siehe Aufgabe 23.3.

Für eine lineare Abbildung

auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom
wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der

Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe 23.24. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem -dimensionalen Vektorraum ist



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Beweis  

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 16.11 und Lemma 12.5). Dies ist nach Lemma 11.4 äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.



Beispiel  

Wir betrachten die reelle Matrix . Das charakteristische Polynom ist

Die Eigenwerte sind also (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel 21.5 ohne charakteristisches Polynom gefunden).



Beispiel  

Zur Matrix

ist das charakteristische Polynom gleich

Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung

die über nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über keine Eigenwerte besitzt. Über hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte und . Für den Eigenraum zu muss man

bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist . Analog ist



Beispiel  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist das charakteristische Polynom nach Lemma 16.4 gleich

In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, so dass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente (die nicht alle verschieden sein müssen).




Invariante Untervektorräume

Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.

Der Nullraum und der Gesamtraum sind natürlich -invariant. Ferner sind die Eigenräume zu invariant.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei

eine direkte Summenzerlegung in -invariante Unterräume.

Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

Beweis  

Es sei eine Basis von und eine Basis von , die zusammen eine Basis von ergeben. Bezüglich dieser Basis wird insgesamt durch die Blockmatrix beschrieben, wobei die Einschränkung und die Einschränkung beschreibt. Dann ist unter Verwendung von Aufgabe 16.22




Algebraische Vielfachheiten

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll.


Definition  

Es sei

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom die algebraische Vielfachheit von . Sie wird mit

bezeichnet.

Wie neulich eingeführt, nennt man

die geometrische Vielfachheit von . Der weiter oben stehende Satz besagt also, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ein Eigenwert ist.

Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.



Lemma  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und .

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

Beweis  

Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 16.22 gleich , so dass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.



Beispiel  

Wir betrachten -Scherungsmatrizen

mit . Das charakteristische Polynom ist

so dass der einzige Eigenwert von ist. Den Eigenraum berechnet man als

Aus

folgt, dass ein Eigenvektor ist, und dass bei der Eigenraum eindimensional ist (bei liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts gleich , die geometrische Vielfachheit gleich .




Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Lemma 22.6 ist die Summe der Eigenräume

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , so dass Gleichheit vorliegt. Nach Lemma 22.11 ist diagonalisierbar.



Korollar

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom zerfalle in verschiedene Linearfaktoren.

Dann ist diagonalisierbar

Beweis

Siehe Aufgabe 23.28.


Daraus ergibt sich auch ein neuer Beweis für Korollar 22.10.



Fußnoten
  1. Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von anstatt von . Dies ändert aber - und zwar nur bei ungerade - nur das Vorzeichen.
  2. heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen zu Polynomen mit . Bei oder kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.


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