Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Die Pausenaufgabe

Aufgabe *

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine ${}n\times n$ -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}.

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige ${}2\times 2$ -Matrix.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

{\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form

{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&d\\0&0&a\end{pmatrix}}.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und es sei

\psi =\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi \colon V\oplus \cdots \oplus V\longrightarrow V\oplus \cdots \oplus V

die ${}m$ -fache direkte Summe von ${}\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von ${}\psi$ zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von ${}\varphi$ ?

Aufgabe

Schreibe die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}4X^{2}-3X+2&X^{3}-2X+8\\3X^{4}-X^{3}-2X^{2}+7&X^{4}-6\end{pmatrix}}\,

(mit Einträgen aus ${}\mathbb {Q} [X]\subset \mathbb {Q} (X)$ ) als

A_{4}X^{4}+A_{3}X^{3}+A_{2}X^{2}+A_{1}X+A_{0}

mit Matrizen ${}A_{4},A_{3},A_{2},A_{1},A_{0}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ .

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über einem Körper ${}K$ , dessen Minimalpolynom die Form

(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})

mit verschiedenen ${}\lambda _{i}$ besitze. Zeige, dass ${}M$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$ -ten Einheitswurzeln in ${}K$ . Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

{}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.

Zeige, dass für jede ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Eine ${}n$ -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in K$ eine ${}n$ -te primitive Einheitswurzel in einem Körper ${}K$ . Zeige die „Schwerpunktformel“

{}1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{n-1}=0\,.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ . Beweise die folgenden Aussagen.

Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$ , so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$ -te Einheitswurzel.
Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$ -te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ .

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass ${}M$ über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe *

Es sei der Zykel ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei ${}M$ die zugehörige ${}n\times n$ - Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$ .

a) Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}<n$ . Erstelle eine Formel für ${}(P(M))(e_{1})$ .

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$ .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass ${}\varphi (v_{1})=v_{2}$ , ${}\varphi (v_{2})=v_{3}$ und ${}\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von ${}\varphi$ nicht ${}X^{3}-1$ ist.

Aufgabe

Von einer Permutation ${}\pi \in S_{n}$ sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ .

Aufgabe

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$ . Zu ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei