Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix




Übungsaufgaben

Aufgabe *

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.


Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form


Aufgabe

Es sei eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom . Zeige direkt, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei

die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von .


Aufgabe

Schreibe die Matrix

(mit Einträgen aus ) als

mit Matrizen .


Aufgabe

Es sei eine -Matrix über einem Körper , dessen Minimalpolynom die Form

mit verschiedenen besitze. Zeige, dass diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.


Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.

Aufgabe

Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form

Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.


Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“


Aufgabe

Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
  2. Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .


Aufgabe

Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Aufgabe *

Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige -Permutationsmatrix über einem Körper .

a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .

b) Bestimme das Minimalpolynom von .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.


Aufgabe

Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .


Aufgabe

Es sei eine Permutation und die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper . Zu sei

a) Zeige, dass genau dann -invariant ist, wenn ist.

b) Zeige, dass es -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form sind.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.


Aufgabe *

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare -Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe *

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper

und sei
ein Polynom mit

und mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch

beschrieben wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

und

Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von

gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.



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