Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über
\mathl{\R}{} nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\3 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper mit fünf Elementen}{}{} \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n } {} die \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {trigonalisierbarer Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass
\mathl{P(\varphi)}{} ebenfalls trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn ${ \varphi }^{ * }$ trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $\varphi$ bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {untere Dreiecksmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \ast & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \ast & \cdots & \ast & a_{ n-1} & 0 \\ \ast & \cdots & \cdots & \ast & a_{ n } \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $M$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Abbildungen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{} der \zusatzklammer {links oben} {} {} Untermatrizen zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die folgende Kette von \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{} im $\R^3$ eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} ist.
\mathdisp {V_0=0,\, V_1= \R \begin{pmatrix} 2 \\7\\ -5 \end{pmatrix} ,\, V_2 = \langle \begin{pmatrix} 4 \\-3\\ 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -6 \\-4\\ 4 \end{pmatrix} \rangle ,\, V_3=\R^3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die folgende Kette von \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{} im $\R^3$ eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} ist.
\mathdisp {V_0=0,\, V_1= \R \begin{pmatrix} 8 \\-3\\ 1 \end{pmatrix}} { , }

\mathdisp {V_2 = \operatorname{kern} \varphi, \text{ wobei } \varphi: \R^3 \rightarrow \R \text{ durch die Matrix} \left( 1 , \, 2 , \, -2 \right) \text{ gegeben ist } ,\, V_3=\R^3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ der gleichen \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1} }
{ \subset} {V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {W_0 }
{ \subset} {W_1 }
{ \subset \ldots \subset} {W_{n-1} }
{ \subset} {W_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {W }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in \mathkor {} {V} {bzw.} {W} {.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(V_i) }
{ =} { W_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{0,1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und $V$ ein \definitionsverweis {zweidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der \definitionsverweis {Körper mit drei Elementen}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {dreidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $V$. Zeige, dass die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W_i }
{ \defeq} { V_{n-i} ^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Fahne im \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Wir betrachten $V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension $2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W_i }
{ \subseteq} { V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \subset} {W_1 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset} {W_2 }
{ \subset} {V_2 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1} }
{ \subset} {W_n }
{ \subset} {V_n }
{ } {}
}{}{} eine reelle Fahne ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $V$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} derart gibt, dass diese Fahne die einzige $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

\definitionsverweis {Trigonalisiere}{}{} die komplexe Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 3 \\ 5 { \mathrm i} & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine \definitionsverweis {reelle}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die über $\R$ nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix über $\Q$, deren \definitionsverweis {Spur}{}{} gleich $0$ sei. Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} $N$ der Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & r \\ s & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}