Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 25
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper , seien
lineare Abbildungen und es sei
die Produktabbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.
Aufgabe
Es sei ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Polynom. Zeige, dass ebenfalls trigonalisierbar ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und
die duale Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn trigonalisierbar ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix
beschrieben wird.
Aufgabe *
Es sei eine - Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn einen Eigenvektor besitzt.
Aufgabe
Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.
Aufgabe
Aufgabe
Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu
Aufgabe
Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im eine Fahne ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in gibt.
Aufgabe *
Es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension und es seien
und
Fahnen in bzw. . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
mit
für alle gibt.
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und ein zweidimensionaler - Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .
Aufgabe
Es sei der Körper mit drei Elementen und ein dreidimensionaler - Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .
Aufgabe
Es sei ein -dimensionaler - Vektorraum über einem Körper und es sei
eine Fahne in . Zeige, dass die
eine Fahne im Dualraum bilden.
Aufgabe
Es sei
eine Fahne in einem - Vektorraum . Wir betrachten als reellen Vektorraum der reellen Dimension . Zeige, dass es reelle Untervektorräume
derart gibt, dass
eine reelle Fahne ist.
Aufgabe *
Es sei ein -dimensionaler - Vektorraum über einem Körper . Es sei
eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
derart gibt, dass diese Fahne die einzige - invariante Fahne ist.
Aufgabe *
Es sei
eine Matrix über einem Körper .
a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Trigonalisiere die komplexe Matrix
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine reelle -Matrix, die über nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine Matrix über , deren Spur gleich sei. Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix der Gestalt
gibt.
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