Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 25

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

trigonalisierbar ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

über nicht trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Bestimme, ob die Matrix

über dem Körper mit fünf Elementen trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe *

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper , seien

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Polynom. Zeige, dass ebenfalls trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und

die duale Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

beschrieben wird.


Aufgabe *

Es sei eine -Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn einen Eigenvektor besitzt.


Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.


Aufgabe

Bestimme, ob die Permutationsmatrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu


Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im eine Fahne ist.


Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im eine Fahne ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in gibt.


Aufgabe *

Es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension und es seien

und

Fahnen in bzw. . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und ein zweidimensionaler -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .


Aufgabe

Es sei der Körper mit drei Elementen und ein dreidimensionaler -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper und es sei

eine Fahne in . Zeige, dass die

eine Fahne im Dualraum bilden.


Aufgabe

Es sei

eine Fahne in einem -Vektorraum . Wir betrachten als reellen Vektorraum der reellen Dimension . Zeige, dass es reelle Untervektorräume

derart gibt, dass

eine reelle Fahne ist.


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige -invariante Fahne ist.


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Trigonalisiere die komplexe Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, die über nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix über , deren Spur gleich sei. Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix der Gestalt

gibt.


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