Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}4& 7& -3\\ 2& 7& 5\\ 0& 0& -6\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

über $ℝ$ nicht trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme, ob die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 1& 1& 3\\ 3& 0& 4\end{array}\right)$

über dem Körper mit fünf Elementen trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Es seien $V_1,\dots ,V_n$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$, seien

${\phi }_i:V_i⟶V_i$

lineare Abbildungen und es sei

$\phi ={\phi }_1\times \cdots \times {\phi }_n:V_1\times \cdots \times V_n⟶V_1\times \cdots \times V_n$

die Produktabbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle ${\phi }_i$ gilt.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass $P(\phi )$ ebenfalls trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung und

${\phi }^{\ast }:V^{\ast }⟶V^{\ast }$

die duale Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${\phi }^{\ast }$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $\phi$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ \ast & a_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ \ast & \cdots & \ast & a_{n-1}& 0\\ \ast & \cdots & \cdots & \ast & a_n\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass $M$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $M$ einen Eigenvektor besitzt.

Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.

Aufgabe

Bestimme, ob die Permutationsmatrix

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

über $ℝ$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im ${ℝ}^3$ eine Fahne ist.

$V_0=0,V_1=ℝ\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ -5\end{array}\right),V_2=⟨\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 4\end{array}\right)⟩,V_3={ℝ}^3.$

Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im ${ℝ}^3$ eine Fahne ist.

$V_0=0,V_1=ℝ\left(\begin{array}{c}8\\ -3\\ 1\end{array}\right),V_2=\mathrm{kern}\phi \text{ und }{V}_3={ℝ}^3,$

wobei $\phi :{ℝ}^3\to ℝ$ durch die Matrix $(1,2,-2)$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in $V$ gibt.

Aufgabe *

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$ und es seien

$0=V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_{n-1}\subset V_n=V$

und

$0=W_0\subset W_1\subset \dots \subset W_{n-1}\subset W_n=W$

Fahnen in $V$ bzw. $W$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\phi :V⟶W$

mit

$\phi (V_i)=W_i$

für alle  $i=0,1,\dots ,n$  gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und $V$ ein zweidimensionaler $K$-Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$.

Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit drei Elementen und $V$ ein dreidimensionaler $K$-Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

$0=V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_{n-1}\subset V_n=V$

eine Fahne in $V$. Zeige, dass die

$W_i:=V_{n-i}^{\perp }$

eine Fahne im Dualraum $V^{\ast }$ bilden.

Aufgabe

Es sei

$0=V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_{n-1}\subset V_n=V$

eine Fahne in einem $ℂ$-Vektorraum $V$. Wir betrachten $V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension $2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume

$W_i\subseteq V$

derart gibt, dass

$0\subset W_1\subset V_1\subset W_2\subset V_2\subset \dots \subset V_{n-1}\subset W_n\subset V_n$

eine reelle Fahne ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei

$0=V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_{n-1}\subset V_n=V$

eine Fahne in $V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\phi :V⟶V$

derart gibt, dass diese Fahne die einzige $\phi$-invariante Fahne ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

eine Matrix über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass es eine zu $M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Trigonalisiere die komplexe Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2+\mathrm{i}& 3\\ 5\mathrm{i}& 1-\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ 7& 9& 8\\ 6& 2& -7\end{array}\right)$

über $ℝ$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 6& 2\\ 5& 7& -4& -3\\ 0& 0& -2& 8\\ 0& 0& 1& 9\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine reelle $2\times 2$-Matrix, die über $ℝ$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass $M$ über $ℂ$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

eine Matrix über $\mathbb{Q}$, deren Spur gleich $0$ sei. Zeige, dass es eine zu $M$ ähnliche Matrix $N$ der Gestalt

$N=\left(\begin{array}{cc}0& r\\ s& 0\end{array}\right)$

gibt.