Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 25

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Trigonalisierbare Abbildungen

Definition  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt (siehe Beispiel 22.9). Wir werden in Satz 25.10 sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix heißt trigonalisierbar, wenn die dadurch definierte lineare Abbildung trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix (die Basiswechselmatrix) derart gibt, dass

eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man Trigonalisierung.


Beispiel  

Wir behaupten, dass die Matrix

trigonalisierbar ist. Die Matrix

ist invertierbar mit der inversen Matrix

Eine direkte Rechnung zeigt

Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und Satz 25.10. Das charakteristische Polynom ist

zerfällt also in Linearfaktoren.




Lemma

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung.

Dann ist genau dann trigonalisierbar, wenn dies für alle gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 25.5.


Die vorstehende Aussage gilt insbesondere, wenn

eine direkte Summe von -invarianten Untervektorräumen ist.



Invariante Untervektorräume

Ein trigonalisierbarer Endomorphismus besitzt bezüglich einer geeigneten Basis die Gestalt

Eigenschaften, die für eine solche obere Dreiecksmatrix gelten und die als eine Eigenschaft der linearen Abbildung beschreibbar, also unabhängig von einer gewählten Basis sind, müssen für eine trigonalisierbare Abbildung gelten. Solche Eigenschaften wollen wir verstehen. Durch eine obere Dreiecksmatrix wird der -te Standardvektor auf

abgebildet. Insbesondere ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Charakteristisch für trigonalisierbare Abbildungen ist, dass der Untervektorraum

durch in sich selbst hinein abgebildet wird, d.h. die sind -invariante Untervektorräume, die ineinander enthalten sind und deren Dimension gleich ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass diese Eigenschaft trigonalisierbare Abbildungen charakterisiert.



Lemma  

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein Eigenwert von .

Dann gibt es einen -invarianten Untervektorraum der Dimension .

Beweis  

Nach Voraussetzung und nach Lemma 22.1 besitzt die Abbildung einen nichttrivalen Kern. Sie ist also nicht injektiv und nach Korollar 11.9 auch nicht surjektiv. Daher ist

ein echter Unterraum von . Es gibt dann auch einen Untervektorraum der Dimension , der enthält. Zu gehört wegen

das Bild zu , d.h. ist -invariant.


Wenn ein -invarianter Untervektorraum und ein Polynom ist, so ist auch -invariant, siehe Aufgabe 23.31. In dieser Situation gilt die folgende Gleichheit.



Lemma  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei

ein -invarianter Untervektorraum.

Dann gilt zu jedem Polynom die Beziehung

wobei hier die im Definitionsbereich und auch im Bildbereich eingeschränkte Abbildung bezeichnet.

Beweis  

Dies überprüft man direkt für die Potenzen und für Linearkombinationen davon.




Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei

ein -invarianter Untervektorraum und

die Einschränkung auf (auch im Bildbereich).

Dann ist das Minimalpolynom zu ein Vielfaches des Minimalpolynoms von .

Beweis  

Es sei das Minimalpolynom zu . Für ist nach Lemma 25.5

Daher annulliert den eingeschränkten Endomorphismus und daher ist ein Vielfaches des Minimalpolynoms von .



Beispiel  

Wir betrachten die Permutationsmatrix

Es ist der Eigenraum zum Eigenwert , ferner ist

ein invarianter Untervektorraum (der sich über gemäß Lemma 24.11 in weitere Eigenräume zerlegen lässt). Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf die beschreibende Matrix

somit ist das charakteristische Polynom davon gleich

Dies ist zugleich das Minimalpolynom der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist , und in der Tat ist

in Übereinstimmung mit Korollar 25.6  (/Fakten).




Charakterisierungen für trigonalisierbar
Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen.



Definition  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

eine Fahne in .

Eine Fahne ist also eine Kette von ineinander enthaltenen Untervektorräumen, bei der die Dimension in jedem Schritt um hochgeht.


Definition  

Sei ein Vektorraum der Dimension und

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

heißt -invariant , wenn für alle ist.



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist trigonalisierbar.
  2. Es gibt eine -invariante Fahne.
  3. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
  4. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ) derart, dass eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis  

Von (1) nach (2). Es sei eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume

-invariant sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.

Von (2) nach (1). Es sei

eine -invariante Fahne. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis von mit

Da die Fahne invariant ist, gilt

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu somit obere Dreiecksgestalt.

Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 16.4 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Korollar 24.3 ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.

Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Fälle

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Korollar 24.3 und Satz 23.2 besitzt einen Eigenwert. Nach Lemma 25.4 gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum

der -invariant ist. Nach Korollar 25.6 ist das Minimalpolynom der Einschränkung ein Teiler des Minimalpolynoms von und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine -invariante Fahne

und somit ist dies auch eine -invariante Fahne.

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben, und bezüglich der Basis durch die obere Dreiecksmatrix . Dann gilt nach Korollar 11.12 die Beziehung , wobei den Basiswechsel beschreibt.


Bemerkung  

Das im Beweis zur Implikation (4) (2) von Satz 25.10 beschriebene Verfahren zum Auffinden einer invarianten Fahne, das auf Lemma 25.4 beruht, ist grundsätzlich konstruktiv durchführbar. Wenn die Einschränkung auf einen schon konstruierten invarianten Untervektorraum keinen Eigenwert besitzt, so weiß man, dass die lineare Abbildung nicht trigonalisierbar ist.




Satz  

Es sei eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist trigonalisierbar.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.10 und dem Fundamentalsatz der Algebra.



Beispiel  

Wir betrachten eine reelle -Matrix . Das charakteristische Polynom ist

Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Satz 25.10 trigonalisierbar.



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