Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 26

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.


Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe *

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe *

Sei .

  1. Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.
  2. Finde eine Darstellung der mit diesen beiden Polynomen.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.


Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft. Zunächst begründe man, dass das Lemma von Bezout auch für ganze Zahlen gilt.

Aufgabe *

Beweise das Lemma von Bezout für ganze Zahlen .


Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über -, - und -Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?


Aufgabe *

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe *

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


FibonacciRabbit.svg

Aufgabe

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Sei die Anzahl der Kaninchenpaare im -ten Monat, also , . Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der Paare sind im -ten Monat reproduktionsfähig?


34*21-FibonacciBlocks.png

Die Fibonacci-Zahlen sind somit

Aufgabe

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?


Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen zur Matrix


Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen zur Matrix


Aufgabe

Es sei

Bestimme die Kerne zu den Potenzen


Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix


Aufgabe

Es sei ein Zykel der Länge und die zugehörige Permutationsmatrix, also

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Zeige, dass ein Teiler von ist und berechne die Zerlegung
  3. Bestimme und .
  4. Bestimme und .


Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

und jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.14. Zeige, dass es eine -invariante Fahne derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

für auftreten.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und , sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Polynom. Zeige, dass

ein -invarianter Untervektorraum ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Haupträume zur Matrix


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