Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
und die drei Zerlegungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche ist
\zusatzklammer {sind} {} {}
die kanonische additive Zerlegung im Sinne von
Satz 28.1
\zusatzklammer {und bezüglich welcher Basis} {} {?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $D$ mit jeder anderen
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} der $p_i$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
werde bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 2 & 7 \\ 0 & -2 & -6 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zur reellen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.}
\zusatzklammer {Es muss keine Basis angegeben werden, bezü\-glich der jordansche Normalform vorliegt.} {} {}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} M^{i}}{} eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $K^n$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Jordanblöcken}{}{}
\mathl{J_1 , \ldots , J_k}{,} wobei die Diagonaleinträge konstant gleich $\lambda$ seien. Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Matrix in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{,} wobei nur ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des \definitionsverweis {Eigenraumes}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{} nicht in jordanscher Normalform sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{}
und es sei $D$ die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von
Satz 28.1
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {D+(M-D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit der kanonischen additiven Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} { \varphi_{\rm diag} + \varphi_{\rm nil}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Satz 28.1.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
von $\varphi$ und von $\varphi_{\rm diag}$ übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige durch Induktion, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {endliche Ordnung}{}{}
besitzt, wenn das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\varphi$ ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $\varphi$ ein Polynom der Form
\mathl{{ \left( X^{n_1}-1 \right) } \cdots { \left( X^{n_r}-1 \right) }}{} teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form
\mathl{X^n-1}{} teilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $\varphi$ ein Polynom der Form
\mathl{{ \left( X^{n_1}-1 \right) } \cdots { \left( X^{n_r}-1 \right) }}{} teilt.
}
{} {}
Man sagt, dass ein Körper $K$ \stichwort {positive Charakteristik} {} besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl
\mathl{p \in \N_+}{} die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die Körper $\Q,\R,{\mathbb C}$ haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik $0$ haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\definitionsverweis {positiver Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
die
\definitionsverweis {endliche Ordnung}{}{}
$p$ besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene lineare Abbildung
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{,}
der bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{}
beschrieben wird. Zeige, dass es keine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W
}
{ \subset }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (4+2+2)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ fixiert. Zu einer
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$n \times n$-Matrix $M$ sei
\mathl{\exp M}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp M
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{n} { \frac{ 1 }{ k! } } M^{k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
a) Zeige, dass für
\definitionsverweis {vertauschbare}{}{}
nilpotente Matrizen
\mathl{M,N}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \left( M+N \right) }
}
{ =} { \exp M \circ \exp N
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix
\mathl{\exp M}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix
\mathl{\exp M}{}
\definitionsverweis {unipotent}{}{}
ist.
}
{} {}
| << | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >> |
|---|