Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

nilpotent ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Matrix

nilpotent ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die fünfte Potenz von gleich ist, also


Aufgabe *

Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.


Aufgabe

Es sei

die Einschränkung des Ableitungsoperators auf die Polynome vom Grad . Zeige, dass nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass

nicht nilpotent ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass nicht nilpotent ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ist, wobei die Dimension von bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass der einzige Eigenwert von ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ?


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von ?


Aufgabe *

Sei ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten -Matrizen

über mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen .

b) Sind die Gleichungen linear?


Aufgabe *

a) Es sei eine -Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer -Matrix , die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung , die trigonalisierbar ist, deren Spur und Determinante gleich ist, und die nicht nilpotent ist.


Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume im Allgemeinen nicht -invariant sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von sei eindimensional. Es sei

und die minimale Zahl mit

  1. Zeige, dass alle , , eine direkte Zerlegung

    mit eindimensional haben.

  2. Zeige, dass die Einschränkungen

    für bijektiv sind.

  3. Zeige, dass mit der Dimension von übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Es sei

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass es eine Familie von (bis zu) verschiedenen -Matrizen mit der Eigenschaft gibt, dass jeder nilpotente Endomorphismus auf einem -dimensionalen Vektorraum durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.


Aufgabe

Zeige, dass sich jeder nilpotente Endomorphismus auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.


Aufgabe

Es sei eine Basis des -Vektorraumes und eine lineare Abbildung, die durch

festgelegt ist.

  1. Begründe, warum nilpotent ist.
  2. Bestimme das minimale mit .
  3. Bestimme den Kern von .
  4. Finde eine Basis von , bezüglich der jordansche Normalform hat.


Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

die Menge der Abbildungen

Zu assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ) die lineare Abbildung

die durch

festgelegt ist. Mit bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix bei für die folgenden :

(1)

(2)

(3)

(4)

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ?

c) Für welche ist bijektiv?

d) Für welche ist nilpotent?

e) Welche Dimension besitzt der Kern von ?

f) Zeige

g) Zeige, dass jede nilpotente -Matrix ähnlich zu einer Matrix der Form ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

eine weitere lineare Abbildung mit

Zeige, dass ebenfalls nilpotent ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

derart, dass weder noch nilpotent sind.


Aufgabe

Es sei eine reelle Zahl mit . Bekanntlich ist

Ist die lineare Abbildung

nilpotent?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von gleich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung und es sei die direkte Summe aus -invarianten Untervektorräumen. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn und nilpotent sind.


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Es sei eine Basis des -Vektorraumes und eine lineare Abbildung, die durch

festgelegt ist.

  1. Begründe, warum nilpotent ist.
  2. Bestimme das minimale mit .
  3. Bestimme den Kern von .
  4. Finde eine Basis von , bezüglich der jordansche Normalform hat.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit einer Basis , . Es sei

diejenige lineare Abbildung, die durch

und

für alle festgelegt ist. Ist nilpotent?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

nilpotent. Zeige, dass

bijektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und

nilpotente lineare Abbildungen, die

erfüllen. Zeige, dass dann auch nilpotent ist.



<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)