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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 29

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Die Pausenaufgabe

Legen Sie den Verbindungsvektor von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?




Übungsaufgaben

Die Zeit ist eine affine Gerade über . Legen Sie den Verbindungsvektor vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?



Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.



Es sei ein Vektorraum, ein Untervektorraum und ein affiner Unterraum. Zeige, dass man für jeden Punkt auch schreiben kann.



Es sei ein Vektorraum und ein affiner Unterraum. Zeige, dass genau dann ein Untervektorraum von ist, wenn die enthält.



Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.



Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.



Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .



Es sei und ein Körper fixiert. Es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass die Menge der Polynome vom Grad maximal mit

für einen affinen Unterraum von bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die Dimension von sagen, wann ist leer?



Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Zeige die folgenden Identitäten in .

  1. für .
  2. für .
  3. für .



Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem - Vektorraum .



Es sei ein nichtleerer affiner Raum über einem - Vektorraum . Es sei ein fixierter Punkt und

die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir mit

durch die Abbildung


a) Zeige, dass ein affiner Unterraum von ist mit dem Translationsraum .


b) Zeige

für alle .



Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die baryzentrische Kombination

im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.



Es sei , , eine Familie von Punkten in einem affinen Raum . Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ein eindeutiger Punkt in definiert wird.



Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).

  1. .
  2. .
  3. .


Statt schreibt man häufig auch . Die folgenden Aufgaben zeigen, dass dies bei einem Vektorraum und bei baryzentrischen Kombinationen nicht zu Verwechslungen führen kann.


Es sei ein - Vektorraum, den wir als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien Punkte. Zeige .



Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Es seien , , und Punkte in und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.



Es sei ein Vektorraum über , den wir als einen affinen Raum auffassen. Es sei mit , und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme ist.



Geben Sie die baryzentrischen Koordinaten Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.



Es sei ein affiner Raum über einem - Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Für sei durch

mit für jedes , eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der gegeben. Es seien mit . Zeige, dass man

als baryzentrische Kombination der schreiben kann.



Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine affine Basis bilden.



Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine affine Basis des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.



Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein - Vektorraum. Wir betrachten die Menge

die ein affiner Raum über ist.

a) Zeige, dass die Punkte

genau dann eine affine Basis von bilden, wenn die (aufgefasst als Vektoren in ) eine Vektorraumbasis von bilden.


b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt die baryzentrischen Koordinaten von bezüglich gleich den Koordinaten von bezüglich der Vektorraumbasis ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass der Produktraum ebenfalls ein affiner Raum ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und affine Räume über dem Körper mit einer affinen Basis von und einer affinen Basis von . Zeige, dass

eine affine Basis des Produktraumes ist.


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