Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Betrachte die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$

und die drei Zerlegungen

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

und

$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right).$

Zeige, dass $D$ mit jeder anderen $n\times n$-Matrix $M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.

Aufgabe

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der $p_i$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 7\\ 0& -2& -6\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe *

Bestimme zur reellen Matrix

$M=\left(\begin{array}{cccc}3& 5& 2& 4\\ 0& 3& 6& -1\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Aufgabe *

Es sei $M$ eine nilpotente $n\times n$-Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne $\mathrm{kern}{M}^i$ eine Fahne in $K^n$ bilden.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix mit den Jordanblöcken $J_1,\dots ,J_k$, wobei die Diagonaleinträge konstant gleich $\lambda$ seien. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix in jordanscher Normalform und es sei $D$ die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

$M=D+(M-D)$

ist.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung

$\phi ={\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}+{\phi }_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}}$

im Sinne von Satz 28.1. Zeige, dass die Eigenwerte von $\phi$ und von ${\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}$ übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$

mit  $\lambda \in K$.  Zeige durch Induktion, dass

$M^n=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ 0& {\lambda }^n\end{array}\right)$

ist.

Aufgabe

Die Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass $\phi$ genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von $\phi$ ein Teiler von $X^n-1$ für ein  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  ist.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $ℂ$-Vektorraum $V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $\phi$ ein Polynom der Form $(X^{n_1}-1)\cdots (X^{n_r}-1)$ teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form $X^n-1$ teilt.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $ℝ$-Vektorraum $V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $\phi$ ein Polynom der Form $(X^{n_1}-1)\cdots (X^{n_r}-1)$ teilt.

Man sagt, dass ein Körper $K$ positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl $p\in {\mathbb{N}}_{+}$ die Gleichung  $p=0$  gilt. Die Körper $\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik $0$ haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit positiver Charakteristik  $p>0$.  Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

die endliche Ordnung $p$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

$M=\left(\begin{array}{cccc}4& -6& 0& -1\\ 0& 5& 2& 7\\ 0& 0& 4& 4\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine $n\times n$-Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

$V=U\oplus W$

in $\phi$-invariante Untervektorräume  $U,W\subset V$  gibt.

Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und ein Körper $K$ der Charakteristik $0$ fixiert. Zu einer nilpotenten $n\times n$-Matrix $M$ sei $\exp M$ durch

$\exp M=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{M}^k$

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen $M,N$ die Gleichheit

$\exp (M+N)=\exp M\circ \exp N$

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ unipotent ist.