Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 28
- Die Pausenaufgabe
Betrachte die Matrix
und die drei Zerlegungen
und
Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?
- Übungsaufgaben
Es sei
Zeige, dass mit jeder anderen -Matrix genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.
Beschreibe die direkte Summenzerlegung der bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Bestimme zur reellen Matrix
die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)
Es sei eine nilpotente - Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.
Es sei eine - Jordanmatrix zum Eigenwert . Bestimme das Minimalpolynom von .
Es sei eine - Matrix mit den Jordanblöcken , wobei die Diagonaleinträge konstant gleich seien. Bestimme das Minimalpolynom von .
Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.
Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.
Es sei eine - Matrix in jordanscher Normalform und es sei die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich
ist.
Es sei eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung
im Sinne von Satz 28.1. Zeige, dass die Eigenwerte von und von übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?
Es sei
mit . Zeige durch Induktion, dass
ist.
Die Matrix
beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.
Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.
Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form teilt.
Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt.
Man sagt, dass ein Körper positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl die Gleichung
gilt. Die Körper haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine
Primzahl.
Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix
die endliche Ordnung besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch
gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine Jordanmatrix zum Eigenwert . Zeige, dass der Eigenraum von zum Eigenwert eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine - Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung
in - invariante Untervektorräume gibt.
Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)
Es seien und ein Körper der Charakteristik fixiert. Zu einer nilpotenten -Matrix sei durch
definiert.
a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen die Gleichheit
gilt.
b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix invertierbar ist.
c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix unipotent ist.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >> |
---|