Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Betrachte die Matrix

und die drei Zerlegungen

und

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

Zeige, dass mit jeder anderen -Matrix genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.


Aufgabe

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe *

Bestimme zur reellen Matrix

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)


Aufgabe *

Es sei eine nilpotente -Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.


Aufgabe

Es sei eine -Jordanmatrix zum Eigenwert . Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe

Es sei eine -Matrix mit den Jordanblöcken , wobei die Diagonaleinträge konstant gleich seien. Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe *

Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix in jordanscher Normalform und es sei die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

ist.


Aufgabe

Es sei eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung

im Sinne von Satz 28.1. Zeige, dass die Eigenwerte von und von übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?


Aufgabe *

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Aufgabe

Die Matrix

beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form teilt.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt.


Man sagt, dass ein Körper positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl die Gleichung gilt. Die Körper haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix

die endliche Ordnung besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Jordanmatrix zum Eigenwert . Zeige, dass der Eigenraum von zum Eigenwert eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine -Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

in -invariante Untervektorräume gibt.


Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien und ein Körper der Charakteristik fixiert. Zu einer nilpotenten -Matrix sei durch

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen die Gleichheit

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix unipotent ist.


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