Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 29/latex

\setcounter{section}{29}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Legen Sie den \definitionsverweis {Verbindungsvektor}{}{} von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Die Zeit ist eine \definitionsverweis {affine Gerade}{}{} über $\R$. Legen Sie den \definitionsverweis {Verbindungsvektor}{}{} vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ = }{P+U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.} Zeige, dass man für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ = }{Q+U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.} Zeige, dass $E$ genau dann ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$ ist, wenn $E$ die $0$ enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { 4x-6y+9z } {.} Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ Q\in \R^3 \mid \varphi(Q) = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Beschreibung mit Hilfe eines \definitionsverweis {Aufpunktes}{}{} und eines \definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 7x+y-3z \\4x+5y \end{pmatrix} } {.} Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ Q\in \R^3 \mid \varphi(Q) = \begin{pmatrix} 4 \\-2 \end{pmatrix} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Beschreibung mit Hilfe eines \definitionsverweis {Aufpunktes}{}{} und eines \definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ fixiert. Es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass die Menge $E$ der Polynome
\mathl{P}{} vom Grad maximal $d$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(a_i) }
{ =} {b_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{} von
\mathl{K[X]_{\leq d}}{} bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $E$ sagen, wann ist $E$ leer?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige die folgenden Identitäten in $V$. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P P } }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P Q } }
{ = }{- \overrightarrow{ Q P } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q } + \overrightarrow{ Q R } }
{ = }{ \overrightarrow{ P R } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} $V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Punkt und \maabbeledisp {\theta} {V} {E } {v} {P+v } {,} die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir $E$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E' }
{ =} { { \left\{ (v,1) \in V \times K \mid v \in V \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {E} {E' } {P} {( \theta^{-1}(P),1 ) } {.}

a) Zeige, dass $E'$ ein \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{} von
\mathl{V \times K}{} ist mit dem Translationsraum
\mathl{V \times 0}{.}

b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(Q+v) }
{ =} { \varphi(Q) + v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Vierpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Vierpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathdisp {0,2 P_1 + 0,4 P_2 -0,3P_3 + 0,7 P_4} { }
im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Punkten in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$. Zeige, dass durch eine \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathl{\sum_{i \in I} a_iP_i}{} ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $P$ ein Punkt in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über $V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke \definitionsverweis {baryzentrische Kombinationen}{}{} für $P$ sind \zusatzklammer {es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{$P$. }{
\mathl{P+Q-Q}{.} }{
\mathl{(P+v)-(Q+v)+Q}{.} }

}
{} {}

Statt
\mathl{\overrightarrow{ Q P }}{} schreibt man häufig auch
\mathl{P-Q}{.} Die folgenden Aufgaben zeigen, dass dies bei einem Vektorraum und bei baryzentrischen Kombinationen nicht zu Verwechslungen führen kann.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} den wir als \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} über sich selbst auffassen. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q } }
{ = }{ Q-P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Es seien
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{P,Q}{} Punkte in $E$ und
\mathl{\sum_{i \in I} a_i P_i}{} eine \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P-Q + \sum_{i \in I} a_i P_i }
{ =} { \overrightarrow{ Q P } + { \left( \sum_{i \in I} a_i P_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $K$, den wir als einen \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} auffassen. Es sei
\mathl{\sum_{i \in I} a_i v_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} a_i }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{.} Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme
\mathl{\sum_{i \in I} a_i v_i}{} ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Barycentric RGB.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Barycentric RGB.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}

\inputaufgabe
{}
{

Geben Sie die \definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{} Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ = }{ 1 , \ldots , k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_j }
{ =} { \sum_{i =1}^n a_{ij} P_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i =1}^n a_{ij} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes $j$, eine Familie von \definitionsverweis {baryzentrischen Kombinationen}{}{} der $P_i$ gegeben. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_k }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k b_j }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man
\mathdisp {\sum_{j =1 }^k b_j Q_j} { }
als baryzentrische Kombination der $P_i$ schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^4} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 6x-5y-3z+8w \\x+5y+4z-2w \end{pmatrix} } {.} Bestimme für die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ Q\in \R^4 \mid \varphi(Q) = \begin{pmatrix} -3 \\-7 \end{pmatrix} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Beschreibung mit Hilfe eines \definitionsverweis {Aufpunktes}{}{} und eines \definitionsverweis {Verschiebungsraumes}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (v,1) \mid v \in V \right\} } }
{ \subset} { V \times K }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über $V$ ist.

a) Zeige, dass die Punkte
\mathdisp {P_i =(v_i,1),\, i=1 , \ldots , n} { , }
genau dann eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} von $E$ bilden, wenn die $P_i$ \zusatzklammer {aufgefasst als Vektoren in
\mathl{V \times K}{}} {} {} eine \definitionsverweis {Vektorraumbasis}{}{} von
\mathl{V \times K}{} bilden.

b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{} von $P$ bezüglich
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} gleich den Koordinaten von $P$ bezüglich der Vektorraumbasis
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{E \times F}{} ebenfalls ein affiner Raum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit einer \definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} von $E$ und einer affinen Basis
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_m}{} von $F$. Zeige, dass
\mathdisp {(P_1,Q_1),\, (P_1,Q_2) , \ldots , (P_1,Q_m),\, (P_2,Q_1),\, (P_3,Q_1) , \ldots , (P_n, Q_1)} { }
eine affine Basis des Produktraumes
\mathl{E \times F}{} ist.

}
{} {}