Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 30

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ein affiner Raum der Dimension und es seien affine Unterräume der Dimension bzw. . Zeige, dass leer ist, oder eine Dimension von zumindest besitzt.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob die Punkte

im affin-unabhängig sind.


Aufgabe *

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei

eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Punkte sind affin unabhängig.
  2. Für jedes ist die Vektorfamilie

    linear unabhängig.

  3. Es gibt ein derart, dass die Vektorfamilie

    linear unabhängig ist.

  4. Die Punkte bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.


Aufgabe

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Punkte bilden eine affine Basis von .
  2. Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von .
  3. Die Punkte sind maximal affin unabhängig.


Aufgabe

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Bestimme die Polynome , die eine affin-lineare Abbildung

definieren.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Es sei eine Abbildung

eine lineare Abbildung

und ein Punkt derart gegeben, dass

für alle gibt. Zeige, dass affin-linear ist.


Aufgabe *

Es sei eine Abbildung mit

für gewisse . Zeige direkt, dass mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.


Aufgabe

PunktLinie2.png

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von unter der affinen Abbildung , die durch festgelegt ist.


Aufgabe

Siebenpunkte.png

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von unter der affinen Abbildung , die durch festgelegt ist.


Aufgabe

Beschreibe die affine Ebene

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Aufgabe *

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Aufgabe

Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass die Projektionen

und

affine Abbildungen sind.


Aufgabe

Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein affiner Raum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Es sei

Zeige, dass durch die Zuordnung

eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von nach gegeben ist.


Aufgabe

Es sei

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum das Bild ein affiner Unterraum von ist.


Aufgabe

Es sei

eine affine Abbildung auf einem affinen Raum . Zeige, dass der lineare Anteil genau dann die Identität ist, wenn eine Translation ist.


Aufgabe

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung

ihren linearen Anteil zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.


Aufgabe

Es seien und affine Räume über dem Körper , es sei eine affine Basis von und seien Punkte. Es sei

die zugehörige affin-lineare Abbildung mit

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann bijektiv, wenn eine affine Basis von ist.
  2. ist genau dann injektiv, wenn affin unabhängig ist.
  3. ist genau dann surjektiv, wenn ein affines Erzeugendensystem von ist.


Aufgabe

Es sei

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass die Urbilder zu allen zueinander parallel sind.


Aufgabe

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über . Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum das Urbild ein affiner Unterraum von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Ebene

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein affiner Raum der Dimension und

eine affine Abbildung. Es seien affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von seien. Zeige, dass die Identität ist.


Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

Es sei

eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen und über .

a) Zeige, dass der Graph von ein affiner Unterraum des Produktraumes ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Isomorphismus von affinen Räumen ist.

c) Zeige

wobei die Projektion auf bezeichne.



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