Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bringe die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} mit der in Aufgabe 3.7 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente gibt, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gleich $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \subseteq }{ (\Q,0,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass \maabbdisp {} { F } { \Q/\Z } {} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{ 1, -1\} }
{ \subset }{ \R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde in der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_3$ einen \definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \neq }{ 0, S_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und bestimme die zugehörige \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit dem \zusatzklammer {nach Lemma 44.12} {} {} zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G } {n} {g^n } {.} Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß Satz 47.8.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ein Element mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} übereinstimmt, zu dem es einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Z/(d) } {G } {} gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass \definitionsverweis {zyklische Gruppen}{}{} mit der gleichen \definitionsverweis {Ordnung}{}{} isomorph sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G, H} {und} {F} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und seien \maabb {\varphi} {G} {H } {} und \maabb {\psi} {G} {F } {} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} mit $\psi$ surjektiv und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi }
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des induzierten Homomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {F} {H } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für jede reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
\mathl{\R/\Z a}{} untereinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Definiere einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q \setminus \{0\}, \cdot,1)} {(\Z,+,0) } {,} der $p \mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.

}
{Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_1 }
{ \subseteq }{ G_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_2 }
{ \subseteq }{ G_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Zeige, dass
\mathl{N_1 \times N_2}{} ein Normalteiler in
\mathl{G_1 \times G_2}{} ist und dass eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2) }
{ \cong} { (G_1/N_1) \times (G_2/N_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x } }
{ <} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $H$ eine (additive) \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{{\Z} a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} aber kein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{$k$ teilt $n$. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z n }
{ \subseteq }{ \Z k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Z/(n) } { \Z/(k) } {.} }{Es gibt einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Z/(n) } { \Z/(k) } {.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} modulo $n$ genau dann ist, wenn \mathkor {} {a} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenring}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} }{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} }{$n$ ist eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $C$ die Menge aller \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} in $\Q$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $C$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. }{Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N }
{ \subseteq }{C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die aus allen \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} besteht, ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist. }{Zeige, dass
\mathl{C/N}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $G$ und $H$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} $G \times H$. Zeige, dass die Gruppe $G \times \{ e_H \}$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G \times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G \times H)/G \times \{ e_H \}$ kanonisch \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G } {} mit der Eigenschaft gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {rational}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(r) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit vier Elementen.

}
{} {}